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可得未知参数的极大似然估计值 然后, 再求得极大似然估计量. L是 的可微函数,解似然方程组 若 L不是 的可微函数, 需用其它 方法求极大似然估计值. 请看下例： 若 例8 设 X ~ U (a,b), x1, x2,…, xn 是 X的一个 样本值, 求 a , b 的极大似然估计值与极大 似然估计量. 解 ξ的密度函数为 似然函数为 例8 似然函数只有当 a xi b, i = 1,2,…, n 时 才能获得最大值, 且 a 越大, b 越小, L 越大. 令 xmin = min {x1, x2,…, xn} xmax = max {x1, x2,…, xn} 取 则对满足 的一切 a b , 都有 故 是 a , b 的极大似然估计值. 分别是 a , b 的极大似然估计量. 问 题 1) 待估参数的极大似然估计是否一定存在? 2) 若存在, 是否惟一? 设 X ~ U ( a – ?, a + ?), x1, x2,…, xn 是 X的一个样本, 求 a 的极大似然估计值. 解 由上例可知, 当 时, L 取最大值 1, 即 显然, a 的极大似然估计值可能不存在, 也 可能不惟一. 例9 例9 不仅如此, 任何一个统计量 若满足 都可以作为 a 的估计量. 极大似然估计的不变性 设 是? 的极大似然估计值, u(? ) (? ? ? )是? 的函数, 且有单值反函数 ? = ? (u), u?U 则 是 u(? ) 的极大似然估计值. 不变性 如 在正态总体N (?,? 2)中, ? 2的极大 似然估计值为 是? 2的单值函数, 且具有单值 反函数，故? 的极大似然估计值为 ln? 的极大似然估计值为 第八章 参数估计 在实际问题中，对于一个总体 X 往往只知道其分布的类型，而其中所含的一个或几个参数的值却是未知的，因此只有在确定这些参数后，才能通过其分布来计算概率，如何确定这些参数的数值呢？这就是统计推断中的参数估计问题。 什么是参数估计？ 参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计. 例如，X ~N (? ,? 2), 点估计 区间估计 若? , ? 2未知, 通过构造样本的函数, 给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容. 参数估计的类型 点估计 —— 估计未知参数的值 区间估计—— 估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值. §8.1 点估计 点估计的思想方法 设总体ξ 的分布函数的形式已知, 但含有一个或多个未知参数：?1,?2, ?,?k 设 X 1, X 2,…, X n为总体的一个样本 构造 k 个统计量： 随机变量 §8.1 当测得样本值(x1, x2,…, xn)时,代入上述 统计量，即可得到 k 个数： 数 值 称数 为未知参数 的估计值 如何构造统计量？ 如何评价估计量的好坏？ 对应统计量 为未知参数 的估计量 问 题 方法 用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的估计量, 建立含有待估参数的方程, 从而解出待估参数 一般, 不论总体服从什么分布, 总体期望 ? 与方差? 2 存在, 则它们的矩估计量分别为 8.1.1 矩估计法 法一 事实上，按矩法原理，令 设待估计的参数为 设总体的 r 阶矩存在，记为 样本 X 1, X 2,…, X n 的 r 阶矩为 令 —— 含未知参数 ?1,?2, ?,?k 的方程组 解方程组 , 得 k 个统计量： 未知参数 ?1, ?,?k 的矩估计量 代入一组样本值得 k 个数: 未知参数 ?1, ?,?k 的矩估计值 例1 设总体 X ~ N ( ? ,? 2 ), X 1, X 2,…, X n为 总体的样本, 求 ? ,? 2 的矩法估计量. 解 例2 设总体 X ~ E(?), X1, X2,…, Xn为总体的 样本, 求? 的矩法估计量. 解 令 故 例1 例3 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机 抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时) 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200 试用矩法估计该厂这天