专题15 综合问题 教师版 03.docVIP

9. （2012四川泸州11分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A、B(点在点的左侧)，与y轴相交于点C，顶点D在第一象限.过点D作x轴的垂线，垂足为H。(1)当时，求tan∠ADH的值； (2)当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；(3)设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC的距离。 【答案】解：（1）)当时，。∴D。∴DH=。 在中令，即，解得。 ∴A（－1，0）。∴AH=。∴tan∠ADH=。 （2）∵，∴D。∴DH=。 在中令，即，解得。∵顶点D在第一象限，∴。∴∴A（－1，0）。∴AH=。当∠ADB=600时，∠ADH=300，tan∠ADH=。 ∴，解得（增根，舍去）。 当∠ADB=900时，∠ADH=450，AH=DH，即， 解得（不符合，舍去）。∴当60°≤∠ADB≤90°时，。 （3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m， 设过点B（，0），C（0，）的直线为，则 ，解得。 ∴直线BC为。 当时，。∴M（m，）。∴DM=，AB=。 ∵S△BCD=DM·OB，S△ABC=AB·OC，S△BCD=S△ABC，∴。 又∵顶点D在第一象限，∴，解得。 当时 ，A（－1，0），B（5，0），C（0，）。 ∴BC=，S△ABC=。 设D到BC的为d，∵S△DBC=，∴，解得。 10. （2012宁夏区10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长； (2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ (3)若PE∥BD，试求出此时BP的长. 【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=。 （2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE。∴ ，即。∴。 ∵，∴当时，y的值最大，最大值是。 （2）设BP=x, 由（2）得。∵PE∥BD，，∴△CPE∽△CBD。 ∴， 即，化简得。解得或（不合题意，舍去）。 ∴当BP= 时， PE∥BD。 11. （2012贵州黔东南12分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3）， 将C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1。∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3。 （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得。∴直线BC的解析式：y=﹣x+3。已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）。 （3）存在。如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）。 ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为。 12. （2012贵州黔西南16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴； （2）设点P为抛物线（x5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线经过点B（1，0），C（5，0），∴设抛物线对应的函数解析式为。 又∵抛物线经过点A（0，4），∴，解得。∴抛物线对应的函数解析式为，即。 又∵，∴抛物线的对称轴为x=3。（2）（6，4）。 （3）存在。△NAC的面积最大，即点N距AC的距离最大，此时点N在直线AC下方的抛物线上，过点N与直线AC平行的直线与抛物线只有一个交点。 设直线AC：，则，解得。∴直线AC：。 设过点N与直线AC平行的直线为。由整理得。 ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴，解得。 ∴，解得。当时，。∴N（，－3）。 ∴在直线AC下方的抛物线