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线性代数2008试卷及答案
北京信息科技大学《线性代数》2008 一．（5分）求排列3251476的逆序数。 解：6 二．计算下列行列式 （1）（7分） D= 解：原式= =（4+k） = (2) (7分)= 解：原式== = 三．（7分）设A= , 求。 解：= 四．（10分）AX+B＝2X, 其中 A= B=, 求矩阵X。 解： 五．（10分）a,b,c,d是一组向量，求：（1）向量组的秩，（2）向量组的极大无关组； （3）其余向量用极大无关组中的向量线性表示。 a= , b= , c=, d= 解：（1） 向量组的秩3。 （2）为极大无关组中所含向量。 （3） 六．（5分）若向量组是线性相关的，则可由线性表示。这种说法是否正确？ 若正确，请说明理由，若不正确请举反例。 解。不正确。 例如：线性相关，但不能用和线表示。 七．（12分）问为何值时，线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解。 解： 当时，方程组有唯一解。 当时，方程组无解。 当时，方程组有无穷多个解。 八．（7分）已知3阶矩阵A的特征值为2，－1，3， 求行列式。 解： = 九．（14分）求一个正交变换把二次型化为标准形。 解： 当时，的解 , 单位化得； 当时，的解 , 单位化得 ； 当时，的解 , 单位化得; 。设， 十．(10分)设向量组线性无关，试证明 线性无关。 证明：设有使得成立， 则有 由已知条件得 解得 所以线性无关。 十一.（6分）已知二次型， 判断是否为正定二次型． 解： ， 此二次型为正定二次型。
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