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第六章 特征值 习题精解 1求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量.已知A在一组基下的矩阵为: 1)A= 2)A= 解 1)设A在给定基,下的矩阵为A,且A的特征多项式为 ==-5-14=()()故A的特征值为7,-2. 先求属于特征值=7的特征向量.解方程组它的基础解系为,因此A的属于 特征值7的全部特征向量为k (k),其中=+再解方程组 它的基础解系为,因此A的属于特征值-2的全部特征响向量为k(k),其中=4-5 2)设A, 在给定基下的矩阵为A.因==()()() 故A的特征值为=2,=1+1-当=2时, 方程组 的基础解系为故A 的属于特征值2的全部特征向量为 (k),其中=- 当=1+时, 方程组 的基础解系为故A 的属于特征值1+的全部特征向量为 (k),其中=-+(2) 当=1-时, 方程组 的基础解系为故A 的属于特征值1的全部特征向量为 (k),其中=-+(2) 2.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下,写出相应的基变换的过度矩阵T,并验算TAT. 解 已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是必有n个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T. 因为()所以过渡矩阵T=且TAT== 2)因为 (=( 即过渡矩阵 T=且 T 3.在P[x](n1)中,求微分变换D的特征多项式,并证明,D在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵. 解 取P[x]的一组基1,x,则D在此基下的矩阵为 D= 从而 故D的特征值是重),且D的属于特征值0的特征向量只能是非零常数.从而线性无关的特征向量个数是1,它小于空间的维数n,故D在任一组基下的矩阵都不可能是对角形. 4.设 A=求A 解:因为(故A的特征值为且A的属于特征值1的一个特征向量为XA的属于特征值5的 一个特征向量为XA的属于特征值-5 的一个特征向量为X 于是只要记 T=(X 则 T 且 B 于是A = 5.设是四维线性空间V的一个基,线性变换A在这组基下的矩阵为 A 求A的基 下的矩阵; 求A的特征值与特征向量; 求一可逆矩阵T,使T成对角形. 解 1)由已知得( 故求得A在基下的矩阵为 B=X 2) A 的特征多项式为 所以A的特征值为 A的属于特征值的全部特征向量为，其中不全为零，且 ， A的属于特征值的全部特征向量为，其中 ，且 +6 A的属于特征值的全部特征向量为,其中，且 3）因为 （ 所求可逆阵为 T= 且 T为对角矩阵. 6.1)设是线性变换A的两个不同特征值,是分别属于的特征向量,证明:不是A的特征向量; 2)证明:如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量,那么A是数乘变换. 证 1)由题设,知A, A, 且 若是A的特征向量，则存在使 A（）== A（）== 即 再由的线性无关性，知，即，这是不可能的。 故不是A的特征向量。 2）设V的一组基为则它也是A的n个线性无关的特征向量，故存在特征值 使 A 由1）即知 由已知，又有A 即证A是数乘变换。 7. 设A是线性空间V上的可逆线性变换. 1) 证明: A的特征值一定不为0; 2) 证明:如果是的A特征值,那么是的特征值. 证 1)设可逆线性变换A对应的矩阵是A,则矩阵A可逆,A的特征多项式为 A可逆 ,故 又因为A的特征值是的全部根,其积为,故A的特征值一定不为0. 2)设是的A特征值,那么存在非零向量,使得, 8 .设A是线性空间V上的线性变换,证明:A的行列式为零的充要条件是A以零作为一个特征值. 证:设线性变换A矩阵为A,则 A的特征值之积为.必要性.设,则A的特征值至少有一个为零,即一另为一个特征值. 充分性.设A有一个特征值,那么. 第六章 特征值 3