函数压轴题精选.docVIP

1.已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数，，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根，反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根。 （1）求的值；（3分） （2）若a=0，求的取值范围；（6分） （3）若a=1，f（1）=0，求的取值范围。（7分） 解：（1）设是的根，那么，则是的根，则即，所以。 （2）因为，所以，则==0的根也是的根。 （a）若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以， （b）若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而 所以当时，；当时，。 （3），所以，即的根为0和1， 所以=0必无实数根， （a）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，即所以； （b）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，，而，所以，所以不可能小于0， （c）则这时的根为一切实数，而，所以符合要求。 所以 2. 已知，函数 （I）当b0时，若对任意都有，证明 （II）当b1时，证明：对任意，的充要条件是； （III）当时，讨论：对任意，的充要条件。 证：（1）依设，对任意，都有 因为 因为 （II） 必要性： 对任意，据此可以推出 即 对任意 因为b1，可以推出 即 充分性：因为，对任意，可以推出： 即 因为，对任意，可以推出 即 综上，当b1时，对任意，的充要条件是 （III）解：因为时，对任意：，即； 即 ，即 所以，当时，对任意，的充要条件是 3.设，如图，已知直线及曲线上的点的横坐标为作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列 （Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式； （Ⅱ）当时，证明 （Ⅲ）当时，证明 （Ⅰ）解：∵ ∴ ∴ ， ∴ （Ⅱ）证明：由a=1知 ∵ ∴ ∵当 ∴ （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时， 因此 = ．已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 和，其中是大于0的常数. 设实数a0，a，b满足和 (Ⅰ)证明，并且不存在，使得； (Ⅱ)证明； (Ⅲ)证明. 证明：（I）任取 和 ② 可知 ， 从而 . 假设有，则由①式知 ． ∴不存在 （II）由 ③ 可知 ④ 由①式，得 ⑤ 由和②式知， ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 （III）由③式可知 （用②式） （用①式） ⑴当时，求使成立的的集合； ⑵求函数在区间上的最小值 （Ⅰ）由题意， 当时，由，解得或； 当时，由，解得 综上，所求解集为 (Ⅱ)设此最小值为 ①当时，在区间[1，2]上，， 因为，， 则是区间[1，2]上的增函数，所以 ②当时，在区间[1，2]上，，由知 ③当时，在区间[1，2]上， 若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数， 所以 若，则 当时，，则是区间[1，]上的增函数， 当时，，则是区间[，2]上的减函数， 因此当时，或 当时，，故， 当时，，故 总上所述，所求函数的最小值 6.设a为实数，设函数的最大值为g(a)。 （Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t) （Ⅱ）求g(a) （Ⅲ）试求满足的所有实数a 解：（Ⅰ）∵∴要使t有意义，必须 ∵ ① ∴t的取值范围是 由①得 ∴ （Ⅱ）由题意知即为函数的最大值 注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。 （1）当a0，函数的图像是开口向上的抛物线的一段，由 上单调递增。∴ （2）当a=0时，m(t)=t，， ∴ （3）当a0时，函数y=m(t)，的图像是开口向下的抛物线的一段。 若 若 若 综上有 （Ⅲ）解法一：情形1：当 由解得矛盾。 情形2：当，此时， 矛盾。 情形3：当，此时 所以。 情形4：当，此时 矛盾。 情形5：当，此时 由矛盾。 情形6：当a0时，，此时 由 综上知，满足的所有实数a为： 解法二：当 当，所以 。因此，当 当，由 当 要使，必须有 此时。综上知，满足的所有实数a为： 已知是偶函数且 求函数的解析式 是否存在实数在区间上的值域为 若不等式对于一切恒成立，求实数的取值范围 设函数 的最小值为，的两个实根为 求的值 若关于的不等式的解集为A，函数在A上不存在最小值，求的取值范围 若求的取值范围 9.已知函数. (1) 试证函数的图象关于点对称; (2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和 (3) 设数列满足: , . 设. 若(2)中的