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地球物理数值模拟方法 地球探测与信息技术专业研究生课程 第四讲：积分方程法 数学基础：?函数、基本解、格林公式； 二维位场延拓 第一章：狄拉克（Dirac) ?函数 一维?函数定义： 一、一维?函数 一维?函数性质 二、二维?函数 二维?函数定义： 二、二维?函数 二维?函数性质： 二、二维?函数 二维?函数性质： 三、三维?函数 三维?函数定义： 三、三维?函数 三维?函数性质： 三、三维?函数 立体角： 第二章：偏微分方程的基本解 线性微分算子L对函数u的某种微分计算构成一个偏微分方程： 一、3维Laplace方程的基本解 3维Laplace方程的基本解为 一、3维Laplace方程的基本解 证明： 二、2维Laplace方程的基本解 2维Laplace方程的基本解为： 第三章：高斯公式与格林定理 高斯公式： 作业： 证明： 第4章 重磁向上延拓问题 将观测平面或剖面上已知的重磁异常换算出高于它的平面或剖面上的异常值的过程称为向上延拓，反之称为向下延拓(下延稳定性差，实际应用较少)。 第4章 重磁向上延拓问题 一、 边值问题 在地球物理中，磁源和引力源一般位于地下，在地表上部，没有场源，所以重磁场满足拉普拉斯方程： 上延问题是：已知地面上的重磁场数据（实测值）——边界条件，求地表以上任一点的重磁场： 一、 边值问题 边值问题： 一、 边值问题 边值问题： 二、 边界积分方程 将场函数u与基本解 代入格林公式： 二、 边界积分方程 右边积分： 二、 边界积分方程 重磁向上延拓问题的边界积分方程： 三、 边界单元法 计算得到地面上的场的法向导数 单元剖分 将地面剖分成n-1个单元： 三、 边界单元法 单元分析 假定单元上u和(?u/?n)是线性变化的，用等参单元进行线性插值： 三、 边界单元法 单元上的积分是 三、 边界单元法 总体合成 在各单元的积分相加以前，将单元积分中的位场和位场梯度矩阵扩展为地面所有节点上的位场和位场梯度矩阵： 三、 边界单元法 然后相加： 三、 边界单元法 解位场梯度的线性方程组 由全部n个节点，可得线性代数方程组： 三、 边界单元法 求空间任一点的位场 作业 编制二维位场上延程序。 ??（x） -?/2 ?/2 x ? 性质： x y p p p p p x y p z 若q(x,y,z)为动点，p(x0,y0,z0)为定点，函数?(q,p)经算子L运算后结果若等于?函数，则称?为微分方程的基本解。 即： 格林定理： ?为三维区域， ?为?的闭合界面； ?为二维区域， ?为?的闭合界线。 求：2维和3维亥姆霍兹方程的基本解 证明格林定理 目的： 向上延拓: 1、分离异常（局域场与区域场、提取局部异常）； 2、揭示深部地质构造信息，如基底特征、深部构造、壳幔起伏等； 向下延拓 3、揭示目标地质体深度、形态特征等。 r n 左边 积分： 求解方法： 先用p点在地面上的边界积分方程计算得到地面上的场的法向导数，然后便可用p点在地面以上的边界积分方程求地面以上任一点的场。 j k i 其中，Nj和Nk 是形函数，按下式计算： j k i 对第i节点有（i=1,2,….,n）： 解线性代数方程组，可求得地面各节点的位场梯度。 * * * *