均值不等式及其应用.docVIP

高三一轮复习数学学案 均值不等式及其应用 一．考纲要求及重难点 要求： 1.了解均值不等式的证明过程. 2.会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题. 重难点：1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明. 2.对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大. 二．考点梳理 1.均值定理：； （1）均值不等式成立的条件是_________. （2）等号成立的条件是：当且仅当_________时取等号. （3）其中_________称为正数a,b的算术平均值，_________称为正数a，b的几何平均值. 2.利用均值定理求最值 1）.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立. 简记：和定积最大。 2）.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立. 简记：积定和最小。 3、几个重要的不等式 （1） (a,b∈R) （2） （3） （） （4） （） 三、学情自测 1、已知，，且，则（ ） A、 B、 C、 D、 2、给出下列不等式：①；②；③，其中正确的个数是 A、0 B、1 C、2 D、3 3、设，则的最大值是。 4、长为24cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为。 5.已知正数，满足，则的最小值为 。 四．典例分析 考向一：利用均值不等式求最值 例1、（2013山东）设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为0 B．1 C． D．3 ，求函数的最大值。 2.（2013天津数学）设a + b = 2, b0, 则当a = ______时, 取得最小值. 考向二、利用均值不等式证明简单不等式 例2、已知，求证： 变式训练2、已知都是实数，求证： 考向三、均值不等式的实际应用 例3、小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第年年底出售,其销售价格为25万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+销售收入-总支出)，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使四间虎笼的钢筋网总长最小？ 五、当堂检测 1、若且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 2、若函数在处取得最小值，则（ ） A、 B、 C、3 D、4 3、已知，则的最小值为。 4.若点在直线上,其中则的最小值为__________. ，则函数的最大值是（ ） A、2 B、3 C、1 D、 2、已知成等差数列，成等比数列，则的最小值是 A、0 B、1 C、2 D、4 3、已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ） A、1 B、2 C、 D、 4、已知，则最小值是。 5、若对任意恒成立，则的取值范围是。 6.某工厂去年的某产品的年销售量为100万只,每只产品的销售价为10元,每只产品固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只,第n次投入后,每只产品的固定成本为,若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为万元. (1)求k的值,并求出的表达式; (2)若今年是第1年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元? 教师寄语：一切的方法都要落实到动手实践中 4 均值不等式及其应用 第 页（共4页） 命 制 人：金桂青 贺 磊 审 核 人：董雷波 使用时间：2013.10.23 级部审核：