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浅谈数形结合在解题中的应用 专业:数学与应用数学 年级:2014级 学号:201450503925 姓名:庞越 摘要：在数学的解题过程中，数形结合的思想有着广泛的应用，并以各种形式出现而贯穿全过程，因此掌握好数形结合思想是数学解题的关键一环。对培养学生分析问题、解决问题的能力有着重要的作用。 关键词：数形结合 以形助数 以数解形 应用 数与形是数学的两种表达形式，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合就是根据数学问题的条件和结论间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示几何直观。将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易得到，化繁为简，从而得到解决。它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。本文将以几道例题为例，举例说明它在解题中的一些妙用。 以形助数 在解数学题的过程中我们要把方程与函数密切联系起来，对于一些直接求解困难的题，不妙考虑一些数形结合，以形助数，寻求最快捷的方法。 例1 如果实数满足等式,求的最大值。 解：等式表示以（2，0）为圆心，以为半径的圆。表示圆上的点与原点连线的斜率。当与圆相切，且切点落在第一象限时，斜率有最大值，即有最大值。所以=。 例2 函数的值域为（ ）。 解：因为是一个分式，我们把它看作点与点连线的斜率，由于所以在射线上移动。因此不难求出AP斜率的取值范围是，即函数的值域为。 在这个例题当中，关键是会将看作一个整体，然后把公式看作是两点连线的斜率，充分利用几何的知识，求出值域。函数的图像也是解决代数问题的一种非常有效的方法，很多函数方程不等式的问题都应用到数形结合，这对数学知识和问题加深认识，理解透彻，有很大帮助。 变式 求函数（）的最大值和最小值。 错解：函数表示定点（2，2）和单位圆上的动点连接的斜率，当直线与单位圆相切时，取得最大值和最小值， 由=1，得。 所以最大=，最小=。 分析：上述解答中忽视了条件，将半单位圆当作单位圆了，所画的图形实际上已经把范围扩大了，事实上，表示点（2，2）与半单位圆上点（）连线的斜率，同前面，得最小=，用代入点法得最大==2。 在以上两个例题和变式题当中解题时首先观察解析式，抓住其特征，利用直线斜率的几何意义，数形结合解题。一般函数求值域、最值的方法有多钟，它们均可应用于求三角函数的值域、最值之中，需要分析所给函数式的特点，适当化简、换元，选择恰当方法求解。 方程的实数根的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 分析：如果直接用代数方法求该方程式很困难的，因此考虑用数形结合法来尝试求出函数与图象的交点的个数。在同一坐标系里作出与图象，画出简图，容易看出答案选C。 当＞1时，已知1，2分别是和的解，求1+2的值。 分析：将两个方程分别化为和，令，，，则由题意可知1是的图象与的图象交点的横坐标，2是的图象与的图象交点的横坐标。 因为与互为反函数，所以图象上的点A，B关于直线对称。由C点的坐标为（1,1），则1+2=2.由于题目中的方程不是常规方程，不能用常规方程方法来求解，因此我们常常利用函数的图象来解决。 函数的图象是函数关系的一种直观、形象的表示，解决与函数有关的问题，利用图象来解决更容易、更简便。在分析这类问题是我们的步骤通常是首先确定有关函数，然后画出图象，最后分析、解决问题。从这几道题可以清楚的看到，从题目所给的式子中找到有关的图形，由图形的性质并结合图形中点的位置找出了更深一层的数量关系，从而得到解题的方法。 以数解形 在一些几何问题中，解题时也不妨逆向思维去考虑向代数转化，即用代数、三角函数、解析几何等方法去解决，所以我们在选择解题方法时要因题意而定，选择适当的方法，从而提高做题效率。 例5 A,B的坐标为，，的外接圆与轴交于D，过A作圆的切线AC交于轴于C，求C点的坐标？ 解：（1）由A，B得CA=2,OB=1，AB=由余弦定理得由得：,由：=,即BD=在中，由勾股定理得OD=即：D() (2)设OC=，则由切割线定理：，在中，余弦定理：即C 例6 已知三顶点是,求的平分线AD的长。 解法：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点，画出的边及其的平分线AD。第二步，观察、挖掘图形的特性，通过特性有： （1）; (2); (3)=2; (4)等等。 证明： =(3，4),=(-8，6), = （1） 是的平分线 （2） (角平分线定理) (3) =2 不正确 第三步，充分利