小学数学论文：外显与内蕴：例说小学数学习题的评价.docVIP

外显与内蕴：例说小学数学习题的评价 【摘要】　　对习题广泛而深入的研究已成为数学新课程逐渐深入实施的一大特征，但人们的注意力似乎集中于解法方面。然而，在重视解题的同时更应该加强对习题本身的研究。“习题配备得好不好，直接影响到学生学习质量的高低。” 对于一线教师来说，理解题意并根据教学目标和学生情况进行教学是每天要面临的工作，因此对习题的认识与评价既需要实践归纳更需要理论厘清。本文以长方形面积计算的习题为例，试图对习题的外显特征与所需的能力水平进行分析刻画，提供了一类评价习题的视角和方法，以引发进一步的研究。 美国数学家哈尔莫斯认为，问题是数学的心脏。这一论断言简意赅地点明了数学问题对数学发展的重要性，得到数学界的广泛认同。1900年8月，在巴黎召开的第二次国际数学家大会上，德国大数学家希尔伯特作了题为《数学问题（Mathematical Problems）》的著名演讲。在这个演讲中，希尔伯特提出了23个当时未解决的难题即“希尔伯特问题”。这一演讲，成为世界数学史上的重要里程碑，对这些具有远见卓识的问题研究贯穿了整个20世纪，一直到现在，可以说这些好题推动了现代数学的发展。 一、什么是好题 究竟什么是好的数学问题？在希尔伯特看来，好的数学问题在于它有用而且增进知识，那些数学史上重要的典型问题就在于其能创造新方法、建立新理论、开辟新领域。著名的华裔美籍数学大师陈省身也认为，只有那些有深远意义、可以不断深入、有发展前途、可以影响许多学科的数学问题才是“好的数学问题”，如模形式与椭圆曲线。而另一些虽然可能也蛮有意思，但难以有进一步发展的数学却是“不好的数学问题”，如“拿破仑问题/定理”。 那些对数学发展有推动作用的问题可能对数学家来说是“好题”，但对于小学生来说，更为常见的则是一些习题。好的习题能反映数学本质，或者说在解题过程中能对数学本质有更好地理解。基与此，本节主要讨论是那些好的习题，我们也把它称为“好题”。 对于不同的学生来说，好题的标准是不一样的。对于某些学生来说，最基础的习题就是好的习题，因为这些习题，可以增强学习数学的自信，改变数学观。按照加德纳的说法，人的智能结构是多元的，不同的人多元智能发展会有差异，“逻辑─数学“青浦实验”采用大样本测试，从初中二年级学生在数学学习中大量外显行为所表征的教学目标中析取其主要因素，沿承和刷新了布卢姆、威尔逊（J. W. Wilson）等人的认识目标分类学，确定四种数学认知水平：①计算－操作性记忆水平；②概念－概念性记忆水平；③领会－说明性理解水平；④分析－探究性理解水平。国内的一些专家学者利用此框架作习题分析（陈敏　2011）取得过一些成果。 笔者①曾经参与过国家教育部质量监测中心 1．情景特征 就像一颗谷粒首先让人看到的是金灿灿的谷壳，同样，对于一个数学问题，学生首先看到的是问题情景。问题情景可以进一步分为现实性、趣味化、开放度三个取向。 如：长方形的长是2，宽是1，它的面积多少？ 这是一个单纯的数学习题，条件充分，问题明确，学生在解决问题时思维活动比较简单，只要按长方形面积公式“对号入座”就行了。优点是有利于公式的巩固记忆。但对于面积的理解与应用价值上则显得功能不足，因此需要把数学问题嵌入情景（实际上数学正是来源于现实情景）让学生能析取、辨别出数学本质，才能提高问题解决能力。在习题中，情景的作用是作为现实的一种替代，以此让学生获得“现实――数学”互相对应、促进理解的经验。以上题为例，题干不变，变换不同的情景如下： （1）情境的现实性 ◆小明爸爸准备给一个大衣柜配一块长2米，宽1米的长方形镜子，镜子每平方15元，小明爸爸配这块镜子要带多少钱？ 【在本题中没有出现“面积”或“求面积”这些字眼，但实际上要求学生从习题所设的情境中转译出“配镜子――求面积”这一信息。】 一个有着现实背景的数学问题，不仅能让学生体会到数学与生活的联系，更有利地促进学生思维水平，特别是识别、抽象、概括能力地提升。为表明习题现实性的程度，我把此题定为“现实性★★★级”，其他习题如果比他更接近现实程度则增加星级，反之减少，最高五星，最低一星。 （2）情景的趣味性 单调的习题形式容易让学生生厌，如果习题能切合儿童的天性，他会觉得有趣好玩，有利于形成积极数学学习情感。同样是求长方形的面积，给出不同的条件叙述方式，生动、形象的程度会不一样。我们将原题稍加变式，改编如下： ◆两只小蚂蚁出去找食物，找呀找，终于在草地上发现两块饼干。好大的饼干哟，他们只能抬动一块，先抬哪一块呢？当然是大的！哪块大呢？想啊想，蚂蚁聪聪想了个好办法，他沿着两块饼干分别走了几步，然后高兴地对蚂蚁亮亮说，嘿，我们这抬这块！聪明的小朋友，你知道他们抬的是哪一块吗？ 　 【本题是小蚂蚁比较饼干的大小，实质是求长方形面积的问题。在本题中借助童话情境融合了