线性代数 线性方程组的基本概念.pptVIP

１、齐次（非齐次）线性方程组---复习 一、线性方程组的基本概念 设线性方程组 若常数项 不全为零，则称此方程组 若常数项 全为零，则称此方程组为 为非齐次线性方程组； 齐次线性方程组. 使得方程组成立的一组数 称为此方 程组的解. 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即D 定理 那么线性方程组有解，并且解可以唯一表示为 右端的常数项代替后所得到的 阶行列式. 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组 注意 I、线性方程组的相关定理 定理 定理 的系数行列式必为零. 如果线性方程组无解或有无穷多解，则它 方程组一定有解,且解是唯一的 . 如果线性方程组的系数行列式 ，则线性 II、齐次线性方程组的相关定理 如果齐次线性方程组的系数行列式 齐次线性方程组只有零解. 如果齐次线性方程组有非零解==系数矩阵的 行列式必为零. 定理 定理 ，则 2、一般的线性方程组 含有m个方程，n个未知变量的线性方程组一般形式 若常数项 不全为零，则称此方程组 若常数项 全为零，则称此方程组为 为非齐次线性方程组； 齐次线性方程组. 该线性方程组称为m × n型线性方程组,其解为满足上述 m个方程的n元向量 3、等价的线性方程组 若m×n型线性方程组(I)和k×n型线性方程组(II)的 解集合相等，则称方程组(I)和(II)为等价的线性方程组 二、线性方程组的矩阵与向量表示 1、矩阵表示： 上述m×n型线性方程组的矩阵表示形式： 称为方程组的系数矩阵 称为方程组的增广矩阵 系数矩阵的初等变换与方程组的解的关系 定理：设矩阵 与矩阵 是行初等变化下等价的 矩阵， 即存在可逆矩阵 ，使得 则线性方程组 为等价的线性方程组 提示：证明二者解集合相等，即 的解也满足 ，反过来也成立。 2、向量表示： 对系数矩阵 按列分块： 则线性方程组 具有如下形式的向量表示： 向量表示： 注： 的解对应于上述线性组合的组合系数 有解等价于b 是A的列向量的线性组合 有解等价于列向量组 定理：对线性方程组 有如下结论： 和系数矩阵A的秩相等，即 有解的充要条件 是增广矩阵 的秩 ① ② 有唯一解的充要条件是 ③ 有无穷多解的充要条件是 三、Gauss消元法 Gauss消元法的基本思想：对线性方程组进行行初等变换， 将其化为与原方程组同解且易求的阶梯形方程组。 1、线性方程组的初等变换（三种）： ①互换两个方程的位置 ②用一个非零数k乘某个方程 ③把某个方程的k倍加到另外一个方程上 2、Gauss消元法： 用上述初等变换将一个线性方程组化为增广矩阵为 （行）阶梯形的线性方程组的过程称为Gauss消元法 例： 解线性方程组 解 线性方程组无解 注： 若增广矩阵的行阶梯形中出现行 则线性方程组一定无解 例： 解线性方程组 解 为任意常数 注: (n为A的列数)线性方程组有 无穷多解，且解中所含的自由变量个数为