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线性代数第20讲 定理5.6 设A为正定矩阵, 如果A?B, 则B也是正定矩阵.证: 因为A?B, 所以存在非奇异矩阵C, 使CTAC=B, 令x=Cy, |C|?0, 对任意y?o均有x?o, 因此yTBy=yTCTACy=(Cy)TA(Cy)=xTAx0(因A为正定矩阵), 即B为正定矩阵. 定理5.7 对角矩阵 因为AT＝A, 则有 定理5.8 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是: 存在非奇异矩阵C, 使A=CTC.推论 如果A为正定矩阵, 则|A|0.注意: 反之不成立. 如 定义5.5 设n阶矩阵 A的一个行标和列标相同的子式 而子式 例如, 定理5.9 矩阵A=(aij)n?n为正定矩阵的充分必要条件是:|Ak|0 (k=1,2,?,n). 证: 必要性设f(x)=xTAx为正定, 令 即 其中 因为aij=aji, 故 即可. 因为 即 由归纳法假设n-1元二次型充分条件成立, 可知n-1元二次型①是正定的. 于是 f(x1,x2,?,xn)0,所以定理充分性成立.如果A是负定矩阵, 则-A为正定矩阵. 因此A为负定矩阵的充分必要条件是: (-1)k|Ak|0 (k=1,2,?,n) 定理5.10 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是它的特征值全大于零. 根据半正定(半负定)矩阵的定义, 可以得到类似于正定矩阵有关条件的结论.(1) 对称矩阵A是半正定(半负定)矩阵的充分必要条件是A的所有主子式大于(小于)或等于零. (证明略)(2) 对称矩阵A是半正定(半负定)矩阵的充分必要是A的全部特征值大于(小于)或等于零. 应注意: 一个实对称矩阵的顺序主子式全大于零或等于零时, A未必是半正定的.例如, 三阶对称矩阵 实际上, A对应的二次型为 例4. 例5. 当l取何值时, 二次型f(x1,x2,x3)为正定 例6. 证明: 如果A为正定矩阵, 则A-1也是正定矩阵证: A正定, 则存在非奇异矩阵C, 使CTAC=In, 两边取逆得C-1A-1(CT)-1=In, 又因(CT)-1=(C-1)T, ((C-1)T)T=C-1, 因此((C-1)T)TA-1(C-1)T=In, |(C-1)T|=|C|-1?0, 故A-1?In, 即A-1为正定矩阵. §5.4 正定和负定性的一个应用 我们利用二次型的有定性, 给出在多元微积分中, 关于多元函数极值的判定的一个充分条件. 而后一式是h1,h2,?,hn的一个n元二次型, 它的符号取决于对称矩阵 我们有如下判别法:(1) 当|Hk(x0)|0 (k=1,2,?,n), 则f(x0)为f(x)的极小值.(2) 当(-1)k|Hk(x0)|0 (k=1,2,?,n), 则f(x0)为f(x)的极大值.(3) H(x0)为不定矩阵, f(x0)非极值. 例1. 求函数 f(x1,x2,x3)在(0,0,1)处的赫斯矩阵为 例2. 求出函数 f11=6x1 f12=3 f13=3f21=3 f22=6x2 f23=3f31=3 f32=3 f33=6x3 而在点 处, 有 作业习题五(A)第229页开始第9题，第11题 是否为有定矩阵. 我们称这个矩阵为f(x)在x0处的n阶赫斯(Hess)矩阵, 其顺序k阶主子式记为|Hk(x0)| (k=1,2,?,n). 的极值. 解: 得驻点x0=(0,0,1). 它是负定矩阵, 所以f(0,0,1)=e-2为f(x1,x2,x3)的极大值. 的极值 解 解方程组得驻点 H(x0)非有定矩阵, 故在点(0,0,0)处f(x1,x2,x3)没有极值. * * 为正定矩阵的充分必要条件是: di0 (i=1,2,?,n) 由定理5.6及定理5.7, A为正定矩阵则p=n, 即A?In. 反之, 若A?In, 则A正定. 即存在非奇异矩阵C, 使A=CTInC=CTC. 此时|A|=|C|20. 于是有下列定理. 但A非正定矩阵. 称为A的k阶主子式. 称为A的顺序k阶主子式, 即 的顺序主子式为 代入上式得 因此只要证明上式中n-1元二次型 ① 为正定即可, 即只需证 因为a110, 故 其顺序主子式 但A并不是半正定矩阵. 显然, 当x1=x2=-1, x3=1时, f(-1,-1,1)=-30. 由此看出二次型f(x1,x2,x3)不是半正定的, A也不是半正定的. 其矩阵为 因此, f(x1,x2,x3)为正定. 解: 故l5时, f(x1,x2,x3)为正定. * * *