第四章 机械振动基础 理论力学Ⅱ第六版.ppt

第四章机械振动基础 § 4－1 单自由度系统的自由振动 例 4－1 例 4－2 例 4－3 例 4－4 § 4－2 计算固有频率的能量法 例 4－5 例 4－6 § 4－3 单自由度系统的有阻尼自由振动 例 4－7 例 4－8 § 4－4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 例 4－9 例 4－10 例 4－11 § 4－5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 例 4－12 § 4－6 转子的临界转速 § 4－7 隔振 例 4－13 § 4－8 两个自由度系统的自由振动 例 4－14 例 4－15 例 4－16 § 4－9 两个自由度系统的受迫振动·动力减振器 例 4－17 主振型和固有频率一样都只与系统本身的参数有关 而与振动的初始条件无关 因此主振型也叫固有振型 自由振动微分方程（4－57）的全解为 第一主振动（4－66）与第二主振动（4－67）的叠加 即 其中包含4个待定常数 它们应由运动的4个初始条件 确定 梁的质量忽略不计 求系统的固有频率和主振型 如图表示一具有两个集中质量 的简支梁 在质量 处梁的影响系数分别为 和 解： 这是两个自由度的振动系统 根据达朗贝尔原理和材料力学中的变形叠加原理 由两个惯性力在 和 处产生的挠度分别为 整理得系统的运动微分方程 （a） 令 （b） 则方程（a）可改写为 （c） 设上述方程解的形式为 （d） 将式（d）代入方程（c） 消去 得 （e） 频率方程为 将行列式展开 得 解此代数方程 得到关于频率 的两个根 （f） 整理得 （g） 可以证明 的两个根都是正实根 和 为系统的两个固有频率 振幅比为 （h） （i） 同样可证明 和 这样可以画出第一主振型和第二主振型如图bc所示 如图所示的梁 设 则根据材料力学公式可计算出 其中EI为梁截面的弯曲刚度 再将上述表达式代入式（g）中 得 再由式（h）和（i）解得振幅比为 这时 梁对于其中点 具有对称和反对称的两个主振型 将上式代入公式（b）得 长为l 由两个刚度系数皆为k的弹簧对称支承 如图所示 均质细杆质量为m 求此系统的固有频率和固有振型 解： 此时细杆的质心坐标为 （a） 细杆绕质心C的微小转角 （b） 列出细杆的平面运动微分方程 将式（a）和式（b）代入上两式 注意 则可整理为 （c） 其中 只求系统的固有频率和固有振型时 可取振动的初始角θ=0 而设式（c）的解为 （d） 将上式代入式（c） 消去 得 （e） 由上式可见 若要AB有非零解 必须有 （f） 就是此系统的两个固有频率 当 时 为使式（e）中两个方程都满足 应有 这是对应于直杆上下平动的固有振型 当 时 为使式（e）中两个方程都满足 应有 这是对应于质心不动而绕质心转动的固有振型 如果直接取质心位移 和绕质心的转角 为系统的两个独立坐标 则直杆的平面运动微分方程为 （g） 上式是对 和 互相独立的两个微分方程 由式（g）很容易得到与式（f）相同的两固有频率 而随同质心的平移位移 和绕质心转动的角位移 也就是此系统的两个固有振型 和 称为此系统的两个主坐标 对于任意两个自由度的振动系统 都可以找出两个主坐标 可使系统的运动微分方程写成互不相关的两个方程 然而 一般情况下 系统的主坐标并不是显而易见的 如图起重机小车 在质心A处用绳悬挂一重物B 刚度系数为k=852.6kN/m 设绳和弹簧质量均忽略不计 左侧弹簧是一缓冲器 求小车和重物的运动 其质量为 其质量为 当小车连同重物B以匀速度 碰上缓冲器后 解： 应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 视小车和重物为两个质点 则系统动能为 其中 等于牵连速度 与相对速度 的几何和 即 因此动能 系统的势能等于弹簧势能与重力势能的和 由此得 将以上结果代入拉格朗日方程 并考虑在微振动条件下 偏角 很小 可近似地认为 并略去 则得到如下线性微分方程组 （a） 设上述方程组的解为 （b） 将所设解（b）代入式（a）中 并令 经整理后得 （c） 由此得频率方程为 或 令 得 解得 代入题设数据 得系统的两个固有频率为 将ω值代入式（c）得二振幅比值为 系统的两个主振动为 （d） 系统的振动规律为 （e） 现在来确定