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非线性动力学汪秉宏 第二章 单自由度系统 单自由度系统 §1 单自由度系统与相轨图 §2 无阻尼摆 §3 单自由度自治系统的不动点 §4 Poincare 示性数、 Lyapunov稳定性及 Poincare-Bendixson 定理 §5 平均法与自激振荡 §6 周期驱动系统 §1 单自由度系统与相轨图 a)，单自由度系统 考虑一元二阶常微分方程 （1） 方程（1）描述的系统称作单自由度牛顿系统。 单自由度系统 引进变量 则方程（1）等价于如下二元一阶方程组 （2） 一般的二元一阶常微分方程组 （3） 称作单自由度系统。 n元一阶常微分方程组称作n/2 自由度系统 若P，Q 中不显含t，则方程（3）称作自治系统。 否则，称非自治系统。 若存在 则（3）称作单自由度Hamilton系统。 保守系统 梯度系统 若 则称作保守统。 若存在， 使 则称作梯度系统。 习题2： 如果一个s自由度系统既是H系统（哈密顿系统），又是G系统（梯度系统）： 考虑二自由度牛顿系统 若惯性力项 阻尼力项， 则惯性力项可略去，而得到 这是单自由度梯度统 b)，相轨图 i) 自治系统 给定相平面上一恒定矢量场，相轨迹是该矢量场的积分曲线。 ① 解析法 设相轨迹为 K(x,y)=c 则 对于哈密顿系统， K=H 知道了相轨迹K(x,y)=c, 即可求得轨道解 （x(t), y(t)） 解法：由K(x,y)=c, 得y=f(x,c) ② 数值法 ③ 定性分析法 ii) 非自治系统 引进新变量z=t, 可得3/2自由度自治系统 不动点 注意：单自由度自治系统，若P,Q光滑，则除P=0，Q=0的那些点外，相轨迹可有确定方向。 使P=0，Q=0的这些点是系统的不动点，也称作矢量场的奇点。 Thanks for Attention！ Thanks for Attention！ * * 证明等能面与等势面正交。 ? ? 一般情形下，不一定有解析解。 可求得x(t)。