非线性方程数值解法-计算物理学.docVIP

第四讲：（2）非线性方程数值解法 在实际物理问题中，例如如何知道热平衡时的温度，力平衡时的力的大小等平衡量，需要求解平衡方程。对于不能解析求解的代数方程就需要数值求解。 本讲只讨论单变量的代数方程 （4.2-1） 为了求解满足方程的变量，即方程的根，有时需要用图示的方法大体了解解的位置。下面介绍几种求方程（4.2.1）根的方法。 4.2.1 二分法（Bisection Method） 方程根附近的性质是要改变符号，一般来说，如果在区间是连续的实函数，并且和有相反的符号，即 （4.2-2） 那么在区间内至少有一个实根。 一般采用增量搜寻的方法来确定函数变号的间隔，例如；然后将这个间隔分成更小的许多子间隔来确定函数变号的位置（即根）。怎样再细分间隔，通常采用的一种方法是对分区间套的方法，即二分法。 二分法求根步骤： 通过满足条件，确定有根区间 估算根：，如果, 则 为解 做下面的计算，确定根在那个子区间 (a) 如果，则根在区间，设，返回到② (b)否则，则根在区间，设，返回到② 二分法求根示意图 ※================================================================※ 例题4.2-1 用二分法计算方程的在区间（1，2）的根。 解：计算程序见BISECTION.f90 结果为：istep=20, x=1 dx=0.0※================================================================※ 4.2-2 弦截法 弦截法的基本思想同二分法相同，所不同的是二分法取中点做为试探根，而弦截法用连接点和的弦与轴的交点做为试探根。 由图可见， 由此可得试探根为 （4.2-3） 然后将，重复计算（3）式，当相继两次计算的之差满足一定精度时，则得到解。 弦截法求根示意图 ※================================================================※ 例题4.2-2 用弦截法计算方程的在区间（1，2）的根。 解：计算程序见SECANT.f90 结果为：istep=5, x=1 dx=-0※================================================================※ 4.2-3 不动点迭代法 设给定一个非线性方程，在用迭代方法求其实根时，先将它转换成等价方程： (4.2-4) 然后构造迭代格式： (4.2-5) 对于给定的初始值，若由此生成的迭代序列有极限，记为,则显然是方程(4.2-4)的解，从而也是方程的解。 称为迭代函数；由于收敛点满足，故将称为函数的不动点；迭代格式(4.2-4)称为不动点迭代法（或基本迭代法）。在迭代格式(4.2-5)中，仅由前一个迭代值决定，也称该迭代格式为单步法。 可以有多种构造迭代函数的方法。迭代函数的不同选择对应不同的迭代法，它们的收敛性有很大的差异。 ※================================================================※ 例题4.2-3 用迭代法求方程的一个实根 解:可以有两种方法构造迭代函数 和 它们对应的不动点迭代法分别为： ①, ②, 由于,即函数在区间[1,2]上改变符号，且连续，所以区间[1,2]是有根区间。取其中点为初值，，进行迭代，程序为 结果为：取迭代公式收敛，不动点，而取迭代公式发散。 ※================================================================※ 判断收敛还是发散的一种方法是做两个曲线的图示方法。例如，迭代公式是：，将方程分成两部分：作图 从(a)和(b)图可以看出：从初始点出发 （纵向交曲线，横向交的直线）,可见迭代点向两曲线交点靠近，即估计值接近解，迭代是收敛的；图(c)和(d)结果正相反，迭代是发散的。 这里不加证明给出判别方法，当，即曲线的斜率的绝对值小于的斜率时迭代是收敛的。 4.2-4 非线性方程的牛顿（Newton）迭代 Newton迭代法的实质是在方程解的附近，将非线性方程线性化的一种近似方法。设非线性函数是连续可微，是方程的实根，是迭代方法中的某个迭代值。将在根的近似点附近展开成Taylor级数： 取其线性部分作