非精确牛顿法的一个Kantorovich型半局部收敛定理.docxVIP

浙江师范大学学报(自然科学版)Vol．37，No．4第37卷第4期2014年11月JournalofZhejiangNormalUniversity(Nat．Sci．)Nov．2014文章编号:1001-5051(2014)04-0388-06*非精确牛顿法的一个型半局部收敛定理Kantorovich徐秀斌，何濛，包振威(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华321004)摘要:研究了非精确牛顿法在求解算子方程F(x)=0时的收敛性，给出了新的优序列，证明了Kantorovich型半局部收敛性．关键词:非精确牛顿法;半局部收敛性;Kantorovich型;优序列中图分类号:O241文献标识码:AAKantorovich-typesemilocalconvergencetheoremofinexactNewtonmethodXUXiubin，HEMeng，BAOZhenwei(CollegeofMathematics，PhysicsandInformationEngineering，ZhejiangNormalUniversity，JinhuaZhejiang321004，China)Abstract:TheconvergenceofaninexactNewtonmethodforsolvingoperatorequationF(x)=0wasstudied，anewmajorizingsequencewaspresentedandaKantorovich-typesemilocalconvergencetheoremwasgiven．Keywords:inexactNewtonmethod;semilocalconvergence;kantorovich-type;majorizingsequence0引言本文将研究逼近方程F(x)=0的求解问题．式(1)中，F是定义在开凸集DX→Y上的F可导算子，X，Y为Banach空间．(1)通过解一些特定方程可以解决实际应用中的很多难题，比如动力系统中有关均差和导数的数学模型，它们的解通常代表着系统的稳定状态．除少数特例外，一般可以通过迭代法解决这些问题，即从某个或某几个初始点开始，产生一个逼近方程解的迭代序列，用以逼近所求的解．而迭代方法拥有相似的递推结构，所以可以在广义的大框架下进行讨论．本文将研究非精确Newton法(INNA):给定初始值x0，执行以下步骤:1)设rn为残差，xn为迭代值，解出sn，使之满足F(xn)sn=－F(xn)+rn．(2)2)xn+1=xn+sn．*收文日期:2014-06-19;修订日期:2014-09-12基金项目:国家自然科学基金资助项目作者简介:徐秀斌(1962－)，男，浙江兰溪人，教授，博士．研究方向:数值逼近．389第4期徐秀斌，等:非精确牛顿法的一个Kantorovich型半局部收敛定理3)若满足误差控制条件，则程序停止;否则，令n=n+1，返回步骤1)．其中:{rn}Y，且通常由序列{xn}决定．若rn=0，则得到Newton迭代法－1xn+1=xn－F(xn)F(xn)，n≥0，x0∈D．(3)非精确牛顿法在多种条件下的局部和半局部收敛性已被广泛研究［1-9］．文献［9］利用以下残差控制式(4)、式(5)及Lipschitz条件(6)，分析了非精确牛顿法的收敛性:－1－11+β‖F(x0)rn‖≤ηn‖F(x0)F(xn)‖ηn≤η．式(4)和式(5)中:{ηn}为一个序列;η≥0;β≥0．，(4)(5)－1‖F(x0)［F(x)－F(y)］‖≤γ‖x－y‖．(6)式(6)中:γ＞0;x，y∈D．文献［2］在式(6)的基础上增加了中心Lipschitz条件－1‖F(x0)［F(x)－F(x0)］‖≤γ0‖x－x0‖，(7)式(7)中γ0≤γ，得到了比文献［9］更加精确的误差估计．文献［5］使用了条件－1β‖A(x0)(F(y)－F(x)－F(x)(y－x))‖≤v(x，y)‖y－x‖，β≥1，证明了牛顿类方法的半局部收敛性．本文受文献［5］的启发，引入条件－1s‖F(x0)(F(y)－F(x)－F(x)(y－x))‖≤γ‖y－x‖，s≥2，证明了非精确牛顿法的半局部收敛性．1半局部收敛性分析先给出引理．引理1设γ0＞0，γ＞0，η≥0，β≥1，s≥2．记1λ=η1+β，μ=1+λ，a=μγ，b=ημ－β;(8)(9)=2a(μα)．s－2δ2s－22s－2槡a((μα))+4γ+a(μα)0再定义函数f(t)=b(1－δ)tβ+2γt－2(1－δ);(10)(11)0g(t)=ats－2+γδt+btβ－δ．0则f(t)，