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优秀课件展示柱体和锥体的体积 高二数学教师 樊俊峰 一、教学目标： 1．知识目标：让学生理解祖暅原理，学会推导柱体、锥体公式，并掌握公式。 2．能力目标：通过等积转换，初步让学生了解“割补法”的作用，逐步培养学生探索问题的能力。 3．德育目标：通过祖暅原理，简介数学史，对学生进行爱国主义思想教育；体现了从特殊到一般，从量变到质变的辩证唯物主义观点。 二、教学重点： 祖暅原理的理解；等积转换的应用。 三、教学难点： 三棱锥体积公式的推导 四、教学过程： [课堂引入]：用一摞答题卡，演示等积转化的过程。 探索其中蕴涵的数学原理——祖暅原理。 [祖氏三代简介]：祖冲之、祖暅和祖皓，河北涞水人，他们在数学和天文学上颇有成就，祖冲之的圆周率和球体积，祖暅研究出“幂势既同，则积不容异”的祖暅原理，比意大利数学家卡瓦列里早一千多年，为微积分的研究打下了坚实的基础。（用音乐、图画、录音来辅助教学）。 [探索研究]： 1．祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 注：两个条件，一个结论。 2.推导柱体体积公式： 让学生说出其中的数学思想？ 答：等积转换。 结论：任一柱体底面积，高相等，体积就相等。 3．引理：等底面积等高的任意两个锥体的体积相等。 问题：如何求锥体体积呢？启发学生，提示寻找最简单的柱体和锥体之间的体积关系，能否将三棱柱分割为三棱锥，能否将一个三棱锥补形为一个三棱柱？演示动画，突破难点，强调其中割补法及等积转换思想。 4．推导锥体体积公式： →（用几何画板动画演示） V = Sh V1= V2 =V3=Sh（让学生证明） 由特殊到一般的认识规律，根据祖暅原理推广到任意锥体。 V锥体=Sh 5．例题： 例1：把夹在两条平行线间的两个平面图形的面积相等的条件，用祖暅原理的形式叙述出来。（让学生说） 解：用类比的方法： 夹在两条平行线间的两个平面图形，如果被平行于这两条平行线的任一直线所截得的线段都相等，那么这两个平面图形的面积相等。 例2：从一个正方体中，如图载去四个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？若正三棱锥A—BCD的棱长为a，求VA-BCD=？设正方体棱长为b，求顶点E到面BCD的距离？ （用动画演示） 解：VE-BCD=·BE3=V正方体 VA-BCD=V正方体 -4VE-BCD=V正方体 直接法：VA-BCD =·· 补形为正方体：VA-BCD=V正方体= 等积法： VC-BED=VE-BCD h=b 6、发散思维：（用投影仪） 三棱锥P—ABC中，PA=a，AB=AC=2a，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求VP-ABC？ 解法一：（直接法） 设P在底面射影O，依题意计算得 PAB中AB边上的高PE=，进而求得PO=a， ∴ VP-ABC=a3 解法二：（分割法） 取AB，AC的中点M，N，则三棱锥P—MAN是棱长为a的正四面体。 ∴ VP-AMN 从而VP-ABC=4VP-AMN=a3 解法三：（补形法） 延长AP至Q，使AQ=2a，连结QB，QC，则三棱锥Q－ABC是棱长为2a的正四面体， ∴VQ-ABC==a3 ∴VP-ABC=VQ-ABC=a3 解法四（等积法） 在△ABC中，∵PA= a，AB=2a，∠PAB =60°，由余弦定理得PB=，∴∠APB=90° 同理∠APC=90° ∴ AP⊥平面PBC ∵ S△PBC= ∴ VP-ABC= VA- PBC=·AP= a3 讲评：多角度、多方位地审视本题条件，从而运用“分割法”、“补形法”、“等积法”等不同方法解题，培养和训练了发散思维能力。 思考题：三棱柱A′B′C′－ABC，P为C C′上一点，已知三枝柱体积为V，VP-ABC=V1，求V1= VP-A′B′C′ 解：过P作截面PMN∥面ABC ∵ V1=VMNP-ABC V′ = A′B′C′－MNP ∴ V1+ V′ =V ∴ V′=V－V1 讲评：本题再次强调三棱锥公式推导中的三棱柱与三棱锥关系，使难点逐步突破。 7、小结： 本节重点讲述了祖暅原理，柱体、锥柱体积公式推导，等积转换及分割法思想，难点是创造条件促成事物的转化，培养由特殊到一般，再由一般到特殊的认识规律。 秋去冬来，《百花园》校刊作为我们邯郸市一中自己的刊物，已满一周岁了。一年来，她在发挥着传播学校精神，记录学校动态，联系学校与社会的桥梁作用。 亲爱的您，作为学校的一名员工、一名学生、一位关爱一中发展的社会人士，都是《百花园》里发表见解、