高一数学同步辅导教材（第7讲）.docVIP

高一数学同步辅导教材（第7讲） 一、本讲教学进度 2.1-2.2(P46-56) 二、本讲内容 1．映射，一一映射 2．函数 三、重点、难点选讲 1．映射、一一映射 （1）集合A到集合B的映射有三个要素，即集合A、集合B和对应法则.其中集合A和集合是有先后顺序的，因为一般情况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射.而对于集合A和集合B的元素是什么，映射的定义未对此作具体要求，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其他对象. （2）一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A到集合B的映射：①集合A中的每一个元素（一个不漏地）在集合B中都有象（但集合B中的每一个元素不一定都有原象）；②集合A中的每一个元素在集合B中的象只有唯一的一个（集合B中的元素在集合A中的原象可能不止一个）.也就是说，图7—1和图7—2所示的两种对应不能称为映射.  （3）对于上述映射，如果加上一个条件，要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象，则这样的映射称为“集合A到集合B上的映射”.如果在此基础上再加上一个条件，要求集合B中的每一个元素在集合A中的原象只有唯一的一个，则这样的映射称为“集合A到集合B上的一一映射”. 例1 如图7—3，集合A={1、2、3、4、5}，B={、、、、}.判断下列对应中，（1）哪些是集合A到集合B的映射；(2)哪些是集合A到集合B上的映射；（3）哪些是集合A到集合B上的一一映射. 解（1）②和④是集合A到集合B的映射，①中集合A的元素3在集合中没有象；③中集合A的元素3在集合B中有两个象，它们都不是映射. （2）②是集合A到集合B上的映射.④中集合B的元素b在集合A中没有原象. （3）②是集合A到集合B上的一一映射. 例2 已知集合A={}，B={}.判断下列各对应f是否是集合A到集合B的映射？一一映射？并说明理由. (1):； (2) :； (3) :； (4) :； (5) : 解 （1）∵， . 因此对集合A的每一个元素， ，所以对应:是集合A到集合B的映射. 对于集合B中的每一个元素，由及，有 .即集合B中的每一个元素在集合A中都有原象，且这样的原象只有一个，所以对应:是一一映射. （2）∵， .所以对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的象，因此对应:是映射. 而集合B中有些元素，如，在集合A中没有原象，因此映射:不是一一映射. （3）∵， ， .由此知集合A的某些元素，如，在集合B中没有象，因此对应:不是映射，更不是一一映射. （4）∵， .因此对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的象，所以对应:是映射. 由，对于集合B中的每一个元素，，即集合B中的每一个元素在集合A中有唯一的原象，因此映射:是一一映射. （5）集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的象.对于集合A中的元素和，都对应于集合B中的同一个元素，所以对应:是映射，. 2.函数 （1）函数的定义. 在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发，用变量来定义的，习惯上称为传统定义.传统定义由研究变量的物理意义而产生，反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，因为有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性.当然，两种定义的本质是一样的. 集合A到集合B的映射:要成为函数，还必须满足两个条件：①集合A、B都是非空集合；②集合A、B都是数的集合.其中集合A就是函数的定义域，而集合B不一定是值域.一般地说，值域C是集合B的子集，即.（若集合，则这个映射就成为集合A到集合B上的映射）. （2）函数的三要素. 定义域A，值域C和定义域A到值域C的对应法则，构成了函数的三个要素.当且仅当这三个要素完全相同时，两个函数才是同一个函数. 在判断两个函数是否同一函数时，主要观察它们的定义域和对应法则是否相同. （3）区间 设、，且.用闭区间[]表示集合{}，用开区间表示集合{}，用半开半闭区间表示集合{}，用半开半闭区间表示集合{}. （4）函数的表示法. 函数常用的表示法有：解析法，列表法及图像法，三种表示法各有其长处. 要搞清符号和（为常数）的区别.一般情况下，是一个随自变量的变化而变化的变量，而是当自变量时函数的值，是一个确定的量. 与初中接触到的函数不一样，这里的函数可以是在不同区间中（或不同条件下）表达式不同的分段函数，因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线，它可能是一些孤立的点，