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第一章 集 合 本章知识梳理 第1节 集合的含义与表示 一．.基本概念与知识 1 集合与元素 (1) 元素：一般地，我们把研究对象称为元素(element). 元素常用小写字母a,b,c, …表示。 (2) 集合：把一些元素按明确要求组成的总体叫做集合(set)(简称为集)。集合通常用大写字母A,B,C, …表示。 2. 元素与集合的关系 元素与集合的关系有属于与不属于两种：元素a属于集合A,记作a∈A,读作“a属于集合A”;元素a不属于集合A,记作aA,读作“a不属于集合A”. ①．这两种情况中必有一种且只有一种成立； ② 符号“∈”与“”是表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系； ③.a与﹛a﹜的区别与联系：a表示一个元素，﹛a﹜表示一个集合，该集合中只有一个元素a;它们之间的联系为a∈﹛a﹜ 3.常用数集 ⑴. 自然数集：全体非负整数的集合，也称为非负整数集，记作N; ⑵. 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N+ ⑶. 整数集：全体整数的集合，记作Z; ⑷. 有理数集：全体有理数的集合，记作Q; ⑸. 实数集：全体实数的集合，记作R. 常见数集的关系 如图1.1 ① 图1.1 ① 4. 集合的分类 集合可以根据所含元素的多少分为三类：有限集、 无限集、空集。 5. 集合中的对象（元素）具有确定性、互异性、无序性三个特征。 6. 集合的表示方法 ① 自然语言法； ② 列举法； ③ 描述法； ④ 图示法。 7. 集合的文字语言、符号语言及图形语言可以互相转化。 二．例题与点评 例题1：下列每组对象能否构成一个集合： 著名的数学家； 某校2011年在校的所有高个子同学； 不超过20的非负数； 方程x2－9＝0在实数范围内的解； 直角坐标平面内第一象限内的一些点； ⑥ 的近似值的全体。 解析：①“著名数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名数学家”不能构成一个集合；②与①类似，也不能构成集合；③ 任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≦x≦20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；④与③类似，也能构成集合； ⑤“一些点”无明确标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的“一些点”不能构成集合；⑥与⑤类似也不能构成集合。 点评: 本例题考查的是每组对象（元素）是否具有确定性，如有明确的判断标准，这样的一组元素就能构成一个集合。 巩固练习1 1. 下列每组对象能构成集合的是 ( ) ① 所有的好人； ② 不超过20的非负数； ③ 某一班级16岁以下的学生； ④ 直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点； ⑤ 高个子的人； ⑥ 充分接近的实数。 A. ①②③ B. ②③④ C. ④⑤⑥ D. ①⑤⑥ 2. 下列给出的对象，能构成集合的是 ( ) A.高一(2)班成绩优秀的学生； B.安徽省的富商； C. 中国著名的数学家； D. 清华大学的学生。 3. 下列命题正确的有 ( ) ① 很小的实数可以构成集合； ② 接近于0的数的全体； ③ 比较小的正整数的全体； ④.平面上到点0的距离等于1的点的全体； ⑤ 正三角形的全体； ⑥.的近似值的全体。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 例题2. 集合A是2形如m﹢n (m∈Z, n∈Z)的数构成的，判断是不是集合A中的元素？ 解析：由分母有理化得＝2﹢。由题中集合A可知m＝2, n＝1, 均有m∈Z, n∈Z, ∴ 2﹢∈A, 即∈A. 点评:①理解∈与￠的含义；②判断元素与集合关系；③将元素进行转化，即将转化成2﹢。 例题3. 下列四个说法中正确的个数是 ( ) .集合N中最小数为1； 若a∈N，则－a￠N; 若a∈N,b∈N,则a﹢b最小值为2； 所有小的正数组成一个集合； ⑤.π∈R; ⑥Q; 0∈N+; ⑧|－4|N+; A.0 B.1 C.2 D.3 解析：∵N中最小的数是0，∴①错；∵0∈N， 而－0∈N，∴②错；当a＝0, b＝1时，a﹢b＝1, ∴③错；小的正数是不确定的，∴④错； ⑤正确；⑥正确；⑦错；⑧错。故选C 点评：弄清常用数集中不同数集的区别。 例题4. 判断下列集合属于有限集、无限集、空集 哪一类? ①不超过10的非负偶数的集合； ②大于10的所有自然数组成的集合