第5章 留数 复变函数与积分变换 教学课件.pptVIP

第五章 留数 5.1 孤立奇点 如果函数 虽在 不解析，但在 的某一去心邻域 内处处解析，那末 称为 的孤立奇点。 例：函数 都以 为孤立奇点。 如果在 的任意小的邻域内总有 的其它奇点存在，则 不是 的孤立奇点。 例：考察函数 。 是它的一个奇点，除此之外， 或 也都是它的奇点，当 的绝对值逐渐增大时， 可任意接近 ，也就是说，在 的不论怎样小的去心邻域内总有 的奇点存在，所以 不是 的孤立奇点。 孤立奇点分为可去奇点，极点和本性奇点。 4.1.1 可去奇点 如果 在 的洛朗级数中不含 的负幂项，则称孤立奇点 是 的可去奇点。 例： 以 为孤立奇点，其洛朗展开式为 式中不含 的负幂项，是可去奇点，且 ，若 在 点无定义或不等于1，则只要重新定义 处的函数值，使其等于1，奇点就可去， 就在 解析了。 5.1.2 极点 如果 在 的洛朗级数中只有 的有限个负幂项，则称孤立奇点 是 极点。若负幂的最高项为 ，则称 为 级极点。此时函数 可表示为 (5.1.1) 其中， 在 内是解析的函数，且 ，反过来，当任何一个函数 能表示成上式的形式，且 时，那末 是 的m级奇点。 如果 为 的极点，由(5.1.1)式，就有 或写作 例：对有理分式函数 来说， 是它的一个三级极点， 都是它的一级极点。 5.1.3 本性奇点 如果 在 的洛朗级数中含有 的无穷多个负幂项，则称孤立奇点 为 的本性奇点 例：函数 以 为它的本性奇点，因为在级数 中含有无穷多个 的负幂项。 在本性奇点的邻域内， 具有以下性质： （维尔斯特拉斯定理）若 是 的本性奇点，则对于任一复数 及任给的 ，任意的 ，在区域 ，必存在一点 ，使得 。 推论：在任意一个圆环域 中，必存在序列 ，使 。 综上所述，如果 为 的可去奇点，那末 存在且有限；如果 为 的极点，那末 ；如果 为 的本性奇点，那末 不存在也不为 。 5.1.4 函数的零点与极点的关系 不恒等于零的解析函数 若能表示为 其中 在 解析，且 ，m为一正整数，则称 为 的m级零点。 若 在 解析，则 为 的m级零点的充要条件是 一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的。 定理 若 是 的m级