第5章 线性参数的最小二乘处理 误差理论与数据处理PPT（教学课件）.pptVIP

合肥工业大学 误差理论与数据处理 第5章 　 线性参数的最小二乘处理 主要内容 　　第一节　最小二乘原理 　最小二乘原理 　等精度测量线性参数的最小二乘原理 　不等精度测量线性参数的最小二乘原理 　　第二节　正规方程 　线性参数的最小二乘处理的正规方程 　非线性参数的最小二乘处理的正规方程 　最小二乘原理和算术平均值原理的关系 　　第三节　精度估计 　测量数据的精度估计 　最小二乘估计量的精度估计 　　第四节　组合测量的最小二乘法处理 第一节　最小二乘原理 一、引入 待测量（难以直接测量）： 直接测量量： 问题：如何根据　　　　　和测量方程解得待测 量的估计值　　　　　　？ 直接求得　　　　　。 有利于减小随机误差，方程组 有冗余，采用最小二乘原理求 。 第一节　最小二乘原理 讨论： 最小二乘原理： 最可信赖值应使残余误差平方和最小。 第一节　最小二乘原理 二、最小二乘原理 设直接测量量 的估计值为 ， 则有 由此得测量数据 的残余误差 残差方程式 第一节　最小二乘原理 若 不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为 ，则 出现在相应真值附近 区域内的概率为 由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率 为 第一节　最小二乘原理 测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值 出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有 最小 由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表 示为 最小 等精度测量的最小二乘原理： 最小 不等精度测量的最小二乘原理： 第一节　最小二乘原理 最小 最小二乘原理（其他分布也适用）： 测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。 第一节　最小二乘原理 三、等精度测量的线性参数最小二乘原理 线性参数的测量方程和相应的估计量为： 残差方程为 第一节　最小二乘原理 令 则残差方程的矩阵表达式为 等精度测量最小二乘原理的矩阵形式： 不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式： 第一节　最小二乘原理 思路一： 权矩阵 四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理 第一节　最小二乘原理 思路二：不等精度　　　等精度 则有： 第二节　正规方程 正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的 　　　　　有确定解的代数方程组 一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程 第二节　正规方程 正规方程： 特点： 　主对角线分布着平方项系数，正数 　相对于主对角线对称分布的各系数两两相等 看正规方程组中第r个方程： 则正规方程可写成 第二节　正规方程 即 正规方程的矩阵形式 第二节　正规方程 将　　　　　代入到　　　　中，得 （待测量Ｘ的无偏估计） 第二节　正规方程 例5.1：已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：　　　　　　　　　　　　　　　　　　，为 　　　　　　　　　。为获得０℃时铜棒的长度　 　　　和铜的线膨胀系数　，现测得不同温度下铜 　　　棒的长度，如下表，求　，　的最可信赖值。 2000.60 2001.48 2001.07 2000.8 2000.72 2000.36 60 50 40 30 20 10 解： 1）列出误差方程 令 为两个待估参量，则误差方程为 第二节　正规方程 按照最小二乘的矩阵形式计算 则有： 第二节　正规方程 那么： 第二节　正规方程 二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规 方程 由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的 正规方程： 第二节　正规方程 整理得： 第二节　正规方程 即 不等精度的正规方程 将　　　　　代入上式，得 （待测量Ｘ的无偏估计） 第二节　正规方程 例 5.2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差： 试求 的最可信赖值。 解：首先确定各式的权 第二节　正规方程 令 三、非线性参数最小二乘处理的正规方程 第二节　正规方程 针对非线性函数 其测量误差方程为 令 ，现将函数在 处展开，则有 将上述展开式代入误差方程，令 则误差方程转化为线性方程组 于是可解得 ，进而可得 。 近似值 第二节　正规方程 第二节　正规方程 为获得函数的展开式，必须首先确定