第4章-不定积分 高等数学教学课件.pptVIP

§1不定积分的概念与性质 §2换元积分法 §3分部积分法 §4有理函数的积分 例5 解 例3 解 例4 解一 类似可得 解二 解三 同一个不定积分,三种解法得出三种形式不同的答 案.实际上,三个答案都是正确的.对于不定积分,这种情 形常会发生. 例5 例6 解 解 例7 解 凑微分法可以灵活运用. 例8 解 同理可得 例9 解 同理可得 例10 解 例11 解 例12 解 二 第二换元积分法 考察不定积分 被积函数的定义域是{x | |x|?1},令 则 从而 定理2 证明 证毕 例13 解 例14 解 注1 注2 例15 解 (1)当x a时， 注3 这三种代换统称为三角代换. 注 C和C1表示任意常数, 若无区分的必要时,统一记作C. （2）当x -a时， 令u = - x，则u a . 再利用(1)的结论得 综合(1)和(2)得到 倒代换: 例16 解 综上所述,均有 当被积函数含有根式 且不能直接应 用基本积分表进行积分时,可令 例17 解1 解2 表4-2-2 增补基本积分公式 (14) (15) (16) (18) (17) (19) (20) (21) (22) 当被积函数是 结合第一换元法,可化成上述(21)或(22)的形式. 例16 解 这里,视x+3 = u (第一换元法), 运用了公式(22). §3 分部积分法 定理1(分部积分公式 ) 设函数 具有连续导数,则 证明 解 恰当地选取u和dv是使用分部积分法的一个关键. 通常选取的u和dv应满足下面两个要求： (1) 由dv求v较容易； 例1 下列类型的积分常考虑使用分部积分法: (1) (2) (3) (4) (5) 例2 解 例3 解 例4 解 * * §1不定积分的概念与性质 一 原函数与不定积分的概念 定义1 设f (x)是定义在某区间I的已知函数,如果 存在函数F(x)使得在区间I的任何一点x上都有 则称F (x)是函数f (x)在区间I的一个原函数. 例如,由 分别是 的一个原函数. 关于原函数，自然要考虑如下三个问题： (1) f (x)应具备什么条件，才能保证它的原函数一定存在？ (2) 如果f (x)有原函数，那么它的原函数是否只有一个？ (3)如果f (x)有多个原函数，那么这些原函数之间有什么关系？ 对此有如下三个定理: 定理1(原函数存在定理) 如果f (x)在某一区间连续，那么它在该区间的原函数一定存在. 注 (1)由于初等函数在其定义域内都是连续的，故 初等函数在其定义域内都有原函数. (2)一个函数的原函数不是唯一的. 定理2 如果f (x)在某区间I有一个原函数F (x)，那么对于任意的一个常数C，F (x)+C也是f (x)在I上的原函数. 证明 定理3 如果G(x)和F(x)都是f (x) 在区间I的原函数，则它们在区间I上相差一个常数. 证明 其中 C0是常数. 证毕 的一个原函数. 由定理2和3知,若F(x) 是f (x)的一个原函数,则 f (x)的所有原函数全体就是形如F(x)+C的函数构成的集,其中C为任意常数. 因此,F(x)+C是f (x)的原函数的一般表达式. 定义2 若F(x)是函数f (x) 在区间I上的一个原函数, 则f (x)的原函数的一般表达式F(x)+C称为f (x)的不定积 因此，求已知函数的不定积分，就归结为求出它的一个原函数，再加上任意常数C. 例1 解 例2 解 例3 解 通常把f (x)的一个原函数F (x)的图形叫做f (x)的一条积分曲线,它的方程是y = F (x).于是,在几何上,不定积分 就是 f (x)的积分曲线的一般表达式,它的方程 是y = F (x) + C,当其中常数C取遍所有实数时,就得到f (x)的积分曲线全体（所构成的曲线族）.由 可知,经过其中任何积分曲线上横坐标相同的点的切线互相平行.容易看出,f (x)的任何一条积分曲线y = F (x) + C都可以由曲线y = F(x)沿y轴方向上下平移而得到(图4-1). 如果给定一个条件(称为初始条件)指明所求的积分曲线上的一个点,就可以确定一个C值,从而确定这条积分曲线. 例4 求经过点 (1,3)且其上任一点处的切线斜率等于这 点横坐标的两倍的曲线方