第24讲常用逻辑用语,推理与证明 王连笑2009年新课标高考数学专题讲座.docVIP

第24讲常用逻辑用语，推理与证明 基础知识 1．常用逻辑用语 （1）命题 命题：可以判断真假的语句叫命题； 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 常用小写的拉丁字母表示命题，故复合命题有三种形式：或；且；非。 （2）复合命题的真值 “非”形式复合命题的真假可以用下表表示： 非 真 假 假 真 “且”形式复合命题的真假可以用下表表示： 且 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 “或”形式复合命题的真假可以用下表表示： 或 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注： 1°像上面表示命题真假的表叫真值表； 2°由真值表得：“非”形式复合命题的真假与的真假相反；“且”形式复合命题当与同为真时为真，其他情况为假；“或”形式复合命题当与同为假时为假，其他情况为真； 3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。 （3）四种命题 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。 两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 （4）条件 ，那么就说：是的充分条件；是的必要条件。 可分为四类： (1) 充分不必要条件，即,而； (2) 必要不充分条件，即,而； (3)，又有； (4)既不充分也不必要条件，即，又有. 一般地，如果既有，又有，就记作：.“”叫做等价符号。 这时既是的充分条件又是的必要条件则是的充分必要条件简称充要条件. （5）全称这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题推理的每一个步骤都是根据一般性命题（如“全等三角形”）推出特殊性命题的过程，这类根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。1】写出由下述各命题构成的“或”，“且”，“非”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。 （1）：9是144的约数，：9是225的约数。 （2）：方程x2－1=0的解是x=1，：方程x2－1=0的解是x=－1； （3）：实数的平方是正数，：实数的平方是0. 【解】由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整。 （1）或：9是144或225的约数； 且：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）； ：9不是144的约数. ∵真，真，∴“或”为真，“且” 为真，而“”为假. （2）或：方程的解是,或方程的解是（的解是”，这与真值表不符）； 且：方程的解是,且方程的解是； ：方程的解不都是（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）； ∵假，假，∴“或”与，“且” 均为假，而“”为真. （3）或：实数的平方都是正数或实数的平方都是0； 且：实数的平方都是正数且实数的平方都是0； ：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）； ∵假，假，∴“或”与“且” 均为假，而“”为真. 【例2】下列各组命题中，满足或”为真、‘“且”为假、“非”为真的是( ). A. ：； ：. B. ：在△ABC中，若，则； ：在第一象限是增函数. C. ：； ：不等式的解集是. D. ：圆的面积被直线平分； ：椭圆的一条准线方程是. 【解】A1】(2007山东卷，理)下列各小题中，是的充要条件的是（ ） ①：或；：有两个不同的零点． ②；是偶函数． ③；． ④；．A．①② B．②③ C．③④ D．①④【解】D ①q∶y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点q＝m2－4(m＋3)＞0qp； ②当时，由q p； ③若时，虽然?，但?； ④．故①④符合题意． 【例2】（2005北京卷） “”是“直线相互垂直”的（ ） A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解】B. 当时两直线斜率乘积为从而可得两直线垂直,当时两直