有限单元法的理论基础是变分原理或加权余量法 有限单元法与程序设计 教学课件.pptVIP

整理得： 是任意的 四.里兹(Ritz)法 第二章 弹性力学的变分原理 ∴ U是Am, Bm的二次函数 是Am, Bm的一次方程，可解出Am, Bm，求得位移。 四.里兹(Ritz)法 第二章 弹性力学的变分原理 * 有限单元法的理论基础是变分原理或加权余量法 变分原理适用于变分的泛函能够用表达式表示的问题 加权余量法适用于变分的泛函尚未找到或根本就不存在的问题 结构分析中的问题基本上属于前者 第二章 弹性力学的变分原理 一.泛函变分的基本概念 三.位移变分原理 四.里兹(Ritz)法 二.弹性问题中的能量表示 第二章 有限元法预备知识 一.泛函变分的基本概念 1. 泛函的概念： 函数： — 变量与变量的关系 泛函： — 变量与函数的关系 x y o A B y=y(x) a b 例如：AB两点的曲线长度： 长度L与y(x)的曲线形状有关， L是y(x)的泛函。 第二章 弹性力学的变分原理 1. 泛函的概念： 泛函的一般表达式： 其中被积泛函 f(x,y,y’) 也是y(x)的泛函。 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 2. 函数的变分： 函数的微分： x y o y dy dx A B y=y(x) 函数的变分： x y o y dy dx A B y=y(x) Y=Y(x) C D ?y 函数y(x) 与另一函数 Y(x) 之差,称为y(x) 的变分。 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 2. 函数的变分： 函数的变分： (a) x y o y dy dx A B y=y(x) Y=Y(x) C D ?y 导数的变分： 由(a) 可知： 微分和变分运算可以交换顺序 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 3. 泛函的变分： 讨论泛函 的变分。 y(x)有变分?y，y’也有变分?y’ 泛函 的增量，按泰勒级数展开： ① 泛函 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 3. 泛函的变分： ① 泛函 泛函 的变分定义为： (b) 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 3. 泛函的变分： ② 泛函 的变分 泛函I 的变分为： (c) 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 3. 泛函的变分： (b)代入(c) ，得： 积分上下限保持不变，变分和定积分的运算可以交换顺序。 与(c)比较可知： 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 (c) (b) 4. 泛函的极值问题： 函数 ① 当函数y(x)在x=x0的邻近任意一点有： 则y(x)在x=x0处达到极大值或极小值， 极值条件为： 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 4. 泛函的极值问题： ② 泛函 当泛函I[y(x)]在y=y0(x)的邻近任意一曲线上有： 则泛函I[y(x)] 在曲线y=y0(x)上达到极大值 或极小值，极值条件为： 曲线y=y0(x)称为泛涵I[y(x)]的极值曲线。 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 5. 变分法 x y o A B y=y(x) a b m n 图示曲线y=y (x)通过点A、B，则y (x)的边界条件为： —研究如何求泛涵的极值。 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 极值条件 的具体形式： 进行分部积分，得： 在x=a, x=b 处，?y=0，则： 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 在 中: 由于?y的任意性， ?I=0的极值条件为： 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 x y o A B y=y(x) a b m n 例:求图示AB曲线为最短时的函数y(x)。 其中： 由极值条件： 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 5. 变分法 x y o A B y=y(x) a b m n 得： 即： 求解方程得到： 所以AB曲线最短时为直线。 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 5. 变分法 变分法是把弹性力学基本方程的定解问题变为求泛函的极值（或驻值）问题；在求近似解时，又转变为求函数的极值（或驻值）问题，并把问题归结为求线性代数方程组问题。 变分法也是有限元法等近似解法的理论基础。 一.泛函变分的基本概念 第二章 弹性力学的变分原理 二.弹性问题中的能量表示 弹性问题中的自然能量包括两类： (1) 外力功 －外力在对应位移上所做的功 第二章 弹性力学的变分原理 (2) 应变能－应力与应变的变形能 人为定义的由自然能量所组成的物理量： 势