厦门大学线性代数期末考试试卷 (含答案）.docVIP

一、选择题（每小题5分，共20分） 设为阶方阵且，则 （ ） 矩阵必有两行（列）的元素对应成比例。 矩阵中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。 矩阵中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。 矩阵中至少有一行（列）的元素全为零。 设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（ ） （A） 。 （B） 。 （C） 。 （D） 的关系依而定。 3．设是非齐次线性方程组的两个不同解，则也是方程组的解是（ ）。 （A） 。 （B） 。 （C） 。 （D） 。 4．若三阶矩阵A的特征值为2, 3, 4, 则该矩阵的伴随矩阵A* 的特征值为（ ） （A） 12, 8, 4 （B） 12, 8, 6 （C） 8, 6, 3 （D） 6, 3, 2。 二、填空题：（每小题5分，共20分） 设，且线性方程组的基础解系含有两个线性无关的解向量，则参 数等于 。 设(1 = (1，2，1)T，(2 = (2，3，4)T，(3 = (3，4，3)T 是R3的一组基，R3的向量 ( = (1, 1, 1)T 关于这组基的坐标为 。 3．将 写成初等矩阵的乘积是 。 4. 若二次型 是正定的，则a的取值范围 是 。 三、计算证明题：（共60分） （8分）假设矩阵和满足关系式，求矩阵。其中 2．（10分）已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，试求常数的值。 3.（12）求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基。 4．（10分）设为二阶方阵，有二个不同的特征值，对应特征向量依次为， 令, 证明： 线性无关。 5．（15分）求正交变换，把二次型 化为标准形。 6．（5分）齐次线性方程组，其中且 证明：矩阵第一行元素的代数余子式相等。 选择题（每小题5分，共20分） 1. (C ) 矩阵中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。 2.（A） 3．(D) 。 4．(B) 12, 8, 6 二、填空题：（每小题5分，共20分） 1．……, 则参数等于 1 . 2．……, 关于这组基的坐标为 3．……, 初等矩阵的乘积是或或…… 4．……, 则a的取值范围是 三、计算证明题：（共60分） 1.（8分）解 由于知 ------------------------------------------- 2 由于 ----------------------- 4 ----- 2 2．（10分）解 设是矩阵对应于特征向量的特征向量，则 A-1( = (( 两边同时左乘矩阵，得 ( = (A( ------------------------------------ 2 即 由此得线性方程组 解得 或 因此当时，向量是的特征向量。 --------------- 8 3.（12）解 对该方程组的系数矩阵作初等行变换 于是化为同解的阶梯形方程组为 即 因，故解空间的维数为5-3=2，即基础解系含2个线性无关的向量，由上式易得齐次线性方程组的一个基础解系 ------------------------------------------------ 6 将正交化，取 故 ------- 4 即为所求得一个标准正交基。 -------------------- ------------------------- 2 4．（10分）证明 因为则 ----- 3 设存在两个参数，使得 ------- ----------------------------- 1 即 又对应于不同特征值的特征向量线性无关，故线性无关，于是 -------------------------------------------------- 2 由于行列式 ， ------------------------