定理2交错级数近似值的误差估算.PPTVIP

交錯級數 於本節與9.6 節，將考慮同時有正項與負項的級數。各項的正負符號交替的級數稱為交錯級數。 交錯調和級數（alternating harmonic series）的例子有 與 交錯級數 更一般地，交錯級數（alternating series）的形式為 或 其中an為正數。 交錯級數 必須用交錯級數檢驗（Alternating Series Test）來判斷這些級數的收斂性。 交錯級數 由圖9.16 得到定理1 的可信度，它將交錯級數 的部分和所組成的 數列{Sn}的前幾項 標繪在數線上。 交錯級數 S2 為S1減去正數a2，所以點S2 = a1 – a2位於點S1 = a1的左邊。但a2 ? a1 ，所以點S2 位於原點右邊。 點S3 = a1 – a2 + a3 = S2 + a3為S2 加a3 ，故它位於S2 右邊。然而a3 a2 ，所以S3 位於S1 左邊。 如此繼續下去，得知對應於部分和{Sn}的點為振盪的。 交錯級數 又limn→?an = 0 ，所以它們之間的間隔越來越小。故此數列{Sn}會趨近某個極限。 尤其是觀察到此數列{Sn}的偶數項為遞增，而它的奇數項為遞減。 由此得知子數列{S2n}將由左邊逼近極限S 與子數列{S2n+1}將由右邊逼近極限S。 例題 1 證明交錯調和級數 收斂。 解： 此級數為an = 1/n的交錯調和級數，所以可用交錯級數的檢驗。 我們必須驗證(1) an+1 ? an與(2) limn→?an = 0 。 例題 1－解 然而驗證第一個條件得計算 而第二個條件由 得到。因此，由交錯級數檢驗得知給予之級數收斂。 以Sn來估算交錯級數的和 假設能證明級數? an為收斂，則它的和為S。 若{Sn}為? an的部分和之數列，則limn→?Sn = S ，即 因此，收斂級數的和可用它的n 項部分和Sn 來估算且可達到任意精確度，附帶n必須足夠大。 以Sn來估算交錯級數的和 為計算估算的準確度，我們介紹某個量 稱為級數 的n 項後的餘數（remainder after n terms）。 此餘數為當S 由Sn 來估算時產生的誤差。 以Sn來估算交錯級數的和 一般而言，要決定這個近似值的準確度並不容易，但是對於交錯級數而言，下面的定理提供一個簡單的誤差估算的方法。 例題 3 證明級數 收斂，並求它的和，準確度 到小數第三位。 解： 對於所有n， 且 由交錯級數檢驗得知此級數收斂。 例題 3－解 為了決定此級數所需的項數，以便達到它的近似值之準確度，由定理2 可得 因為要求| Rn | 0.0005 ，所以只要 即 例題 3－解 可得滿足最後的不等式的最小正整數為n = 6。 因此，所要的近似值為 無窮數列與級數 9 ? 2011 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part. Tan 微積分 9.5 交錯級數 * Tan/微積分-Ch9.5-p491 Tan/微積分-Ch9.5-p491 Tan/微積分-Ch9.5-p491~492 定理1 交錯級數檢驗 若交錯級數 滿足條件 1. 對於所有n，an + 1 ? an 2. 則此級數收斂。 Tan/微積分-Ch9.5-p492 圖9.16 {Sn} 各項以越來越小的步距振盪並由此得到limn??Sn = S Tan/微積分-Ch9.5-p492 Tan/微積分-Ch9.5-p492 Tan/微積分-Ch9.5-p493 Tan/微積分-Ch9.5-p493 Tan/微積分-Ch9.5-p494 Tan/微積分-Ch9.5-p494 Tan/微積分-Ch9.5-p494~495 定理2 交錯級數近似值的誤差估算 假設 為交錯級數並滿足 1. 對於所有n，0 ? a n+1 ? an 2. 若S 為級數的和，則 | Rn | = | S ? Sn | ? an + 1 換言之，由Sn 估算S 的近似值所產生的誤差的絕對值不會大於an+1，第一項略過。 Tan/微積分-Ch9.5-p495 Tan/微積分-Ch9.5-p495~496 Tan/微積分-Ch9.5-p496