11奇异值分解 矩阵论 教学课件.pdfVIP

第十一讲 奇异值分解与极分解 一、矩阵的奇异值 1，回顾： ① 当 A ∈Cm×n 时 ， AH A ∈Cn×n , AAH ∈Cm×m 都 是 Hermite 矩 阵 （ H A =A ），从而都是正规矩阵。 ②正定矩阵： 定义一，所有特征值大于 0 的矩阵 定义二，对任意x ∈Fn ，二次型f(x) =xH Ax 0 ，则称A 正定。 两种定义等价。 半正定矩阵： 定义一，所有特征值大于等于 0 的矩阵 定义二，对任意x ∈Fn ，二次型f(x) =xH Ax ≥0 ，则称A 半正定。 两种定义等价。 ③rank(A)=rank( AH A )=rank( AAH ); AHA与AAH 的非零特征值相等； AHA与AAH 都是半正定矩阵，特别的，当 rank(A)=n 时，AH A 为正 定矩阵；当 rank(A)=m 时，AAH 为正定矩阵。 2 ，奇异值的定义 P82, 定义 3.4. 对于 A ∈Cm×n ，rank(A)=r, 矩阵 AH A 的特征值 λ 0,i =1, 2, ...,r. i 称σ = λ , i =1, 2, ...,r 为矩阵A 的奇异值，简称奇值。 i i λ , ...,λ =0 r+1 n 例如，求 ⎡2 0 1⎤ A =⎢ ⎥的奇异值。 ⎢⎣1 2 0⎥⎦ 3，奇异值的性质： a) A ∈Cn×n 为正规矩阵时，A 的奇异值为A 的特征值的模，| λ | 。 i b) A ∈Cn×n 为正定的 Hermite 矩阵时，A 的奇异值等于A 的特征值。 c) 两个矩阵 A,B 酉等价定义：存在酉矩阵U ∈Cm×m ，V ∈Cn×n ，使 得B =UAV . 酉等价的矩阵具有相同的奇异值。 对比 A,B 等价: 存在可逆P ∈Cm×m ，Q ∈Cn×n ，使得B =PAQ 。 H H d) 酉等价和前面说过的酉相似：A 和 B 酉等价，则 AHA 和 BHB 酉 A 和 B 酉等价，则 A A 和 B B 酉 相似。 相似。 二、矩阵的奇异值分解 1. 一般矩阵的奇异值分解 m×n m U n V 定理：设A ∈C , rank(A) =r ，则存在 阶酉矩阵 及 阶酉矩阵 ， 使 ⎡σ O⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢⎢ σ2 ⎥⎥ r行 ⎢ ⎥ UH AV =∑= ⎢⎢ . ⎥⎥ 即 σ ⎢ r ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣O O⎥⎦ (m −r)行