(第28讲)关于求空间的角的问题 高考数学第二轮复习专题讲座45讲.docVIP

题目 高中数学复习专题讲座关于求空间的角的问题 高考要求 空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想 重难点归纳 空间角的计算步骤 一作、二证、三算 1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90° 方法 ①平移法；②补形法 2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90° 方法 关键是作垂线，找射影 3 二面角 方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法 注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算 注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 4．三种空间角的向量法计算公式： ⑴异面直线所成的角：； ⑵直线与平面(法向量)所成的角：； ⑶锐二面角：，其中为两个面的法向量。 典型题例示范讲解 例1在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点 (1)求证 四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角； (4)求面B′EDF与面ABCD所成的角 命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 错解分析 对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面 技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法 (1)证明 如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四边形 ∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形 ∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面 故四边形B′EDF是菱形 (2)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角 在△A′CP中， 易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a 由余弦定理得cosA′CP= 故A′C与DE所成角为arccos 另法（向量法） 如图建立坐标系，则 故A′C与DE所成角为arccos (3)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上 如下图所示 又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线， 故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′ 在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a 则cosADB′= 故AD与平面B′EDF所成的角是arccos 另法（向量法） ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上 如下图所示 又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线， 故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′， 如图建立坐标系，则 ， 故AD与平面B′EDF所成的角是arccos (4)解 如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心 作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心， 再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE， 故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角 在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a, 则由面积关系得OM=a 在Rt△OHM中，sinOMH= 故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin 另法（向量法） 如图建立坐标系，则 ， 所以面ABCD的法向量为 下面求面B′EDF的法向量 设，由 ∴ ∴ 故面B′EDF与面ABCD所成的角为 例2如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120° 求 (1)AC1的长； (2)直线BD1与AC所成的角的余弦值 命题意图 本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题 知识依托 向量的加、减及向量的数量积 错解分析 注意＜＞=＜,＞=120°而不是60°,＜＞=90° 技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用 ∴BD1与AC所成角的余弦值为 例3如图，为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角 (1)求证 MN分