(第39讲)分类讨论思想 高考数学第二轮复习专题讲座45讲.docVIP

题目 高中数学复习专题讲座分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论 ” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则 分类讨论常见的依据是 1 由概念内涵分类 如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2 由公式条件分类 如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3 由实际意义分类 如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和 （1）用Sn表示Sn+1; （2）是否存在自然数c和k，使得成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由Sn=4(1–），得 ，(n∈N*) （2）要使，只要 因为 所以，(k∈N*) 故只要Sk–2＜c＜Sk，（k∈N*） 因为Sk+1＞Sk，(k∈N*) ① 所以Sk–2≥S1–2=1 又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3 当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立 当k≥2时，因为，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得 Sk–2＜Sk+1–2 故当k≥2时，Sk–2＞c，从而①不成立 当c=3时，因为S1=2，S2=3， 所以当k=1，k=2时，c＜Sk不成立，从而①不成立 因为，又Sk–2＜Sk+1–2 所以当k≥3时，Sk–2＞c，从而①成立 综上所述，不存在自然数c,k,使成立 例2给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l x=–1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C 求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系 命题意图 本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法 综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力 知识依托 求动点轨迹的基本方法步骤 椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点 错解分析 本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型 技巧与方法 精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式 巧妙地利用角平分线的性质 解法一 依题意，记B（–1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=–bx 设点C(x,y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等 根据点到直线的距离公式得｜y｜= ① 依题设，点C在直线AB上，故有 由x–a≠0，得 ② 将②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0 若y≠0，则 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a) 若y=0则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）满足上式 综上，得点C的轨迹方程为 （1–a）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a (i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x＜1 ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a≠1，轨迹方程化为 ④ 所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段 解法二如图, 设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足 （i）当｜BD｜≠0时， 设点C(x,y)，则0＜x＜a，y≠0 由CE∥BD，得 ∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD ∴2∠COA=π–∠BOD ∴ ∵ ∴整理，得 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a) (ii)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，则