矩阵多项式秩的若干新结果.docVIP

编号 莆田学院 毕 业 论 文 课题名称： 矩阵多项式秩的若干新结果 系 别 数学系 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 年 级 2003级 指导教师 2007 年 6 月 目 录 0 引言 1 0.1 记号与定义 1 0.2 研究现状 1 1 预备知识 3 2 主要结论及其证明 5 3 关于猜想1和猜想2的解决 9 4 结论的一些应用 11 参考文献 14 致 谢 15 矩阵多项式秩的若干新结果 摘 要 本文证明了矩阵多项式秩的一个新结果： 两个矩阵多项式秩的和等于它们最大公因式矩阵的秩与最小公倍式矩阵秩的和。 利用这个结果可以推导出诸多文献的重要结果及其一些新结论。 2004年，文献[1]提出矩阵的一次多项式秩的恒等式的两个猜想，作为本文所得结果的应用，可以在更一般的情况下证明这个两个猜想是正确的。 【关键词】矩阵多项式 互素多项式 猜想 Some New Results of Rank of Matrix Polynomial Abstract A new result of rank of matrix polynomial is proved in this paper: The sum of ranks of two matrix polynomials is equal to the sum of ranks of the greatest common factor matrix and the minimal common multiple matrix. We can prove lots of important results and some new conclusions from this result. In 2004,the paper [1] gives two conjectures about the identity of rank of simple polynomial .As the application of the results in this paper ,we can prove that the two conjectures are right in more common situation. 【Key Words】Matrix Polynomial; Coprime Polynomial; Conjecture 莆田学院学士学位毕业论文 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位毕业设计（论文）作者签名： 日期： 2007 年 月 日 莆田学院学士学位毕业设计（论文） 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在本人的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 指导教师签名： 日期： 年 月 日 0引言 0.1记号与定义 本文使用以下记号： 表示数域上关于的多项式的全体； 表示数域上阶矩阵的全体； 表示矩阵的秩； 表示矩阵的特征多项式； 表示矩阵的最小多项式； 表示由的列向量生成的子空间； 表示线性空间的维数； 表示是的首项系数为1的最大公因式； 表示是的首项系数为1的最小公倍式。 定义1：若，则称为幂等矩阵。 定义2：若，则称为幂矩阵。 定义3：若，则称为对合矩阵。 定义4：若，则称为幂么矩阵。 0.2 研究现状 矩阵的秩是矩阵理论的一个重要内容，已有不少的文章讨论矩阵秩的问题，现将近几年来一些文章的主要结论列如下： 命题1（文献[1]的定理2）设则有 命题2（文献[1]的定理3）设则有 命题3（文献[2]的定理2）设，对任意的两两互异的数，则 命题4（文献[2]的定理3）设，且可逆，可交换，则对任意的两两互异的数，有 命题5（文献[3]的定理1）设，则可逆的充分必要条件是。 命题6（文献[3]的定理2）设，如果，则可逆。 命题7（文献[4]的定理1）设，则可逆的充要条