复变函数与积分变换幂级数PPT.ppt

复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 幂级数 一、函数项级数 二、幂级数及其收敛性—正幂项级数 2.收敛特征—Abel定理 定理一 x y O . 三、收敛圆与收敛半径 利用阿贝尔定理，不难确定幂级数的收敛范围 ， 对于任一个幂级数来说，它的收敛情况不外乎三种： iii)既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数. 设 (正实数)时, 级数收敛, (正实数)时, 级数发散. 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛. ii)对所有的正实数除 z =0 外都是发散的.这时, 级数在复平面内除原点外处处发散. b Cb a Ca R CR O x y 显然 时,将收敛域染成红色, 发散域为蓝色. 例1 求幂级数 解: 级数实际上是等比级数, 部分和为 的收敛范围与和函数. 收敛半径的求法 例2 求下列幂级数的收敛半径 四、 幂级数的运算和性质 在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积. 更为重要的是代换(复合)运算 这种代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用. O x y a b 当|z-a||b-a|=R时级数收敛 泰勒级数 z0 K z r z 按柯西积分公式, 有 且 z0 K z r z 由解析函数高阶导数公式,上式可写成 z0 K z r z z0 K z r z 在K内成立, 即 f (z)可在K内 用幂级数表达. q与积分变量z无关, 且0?q1. K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | ? M. 因此, 下面的公式在K内成立: 称该等式为f (z)在z0点的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数. 圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0点的泰勒展开式在圆域 |z-z0|d 内成立. 定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|d 时, 注：如果f (z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R 等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|. 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform