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复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 第五章 留数及其应用 5.1 孤立奇点 5.2 留数 5.3 留数在定积分计算上的应用 §5.1 孤立奇点 如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点. 奇点分类 孤立奇点 非孤立奇点 孤立奇点分类 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则称孤立奇点z0为 f (z)的可去奇点. f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +...,0|z-z0|d 则在圆域|z-z0|d内恒有f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,从而 f (z)在z0点也解析.故z0称为可去奇点. 2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项, 且其中关于(z-z0)-1的最高幂为 (z-z0)-m, 即f(z)=c-m(z-z0)-m +...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+ c1(z-z0)+...(m?1, c-m?0),则称孤立奇点z0为函数 f (z)的m级极点. 上式也可写成: 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +..., 在 |z-z0|d 内是解析的函数, 且 g (z0) ? 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且g (z0) ? 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点. 综上所述: 我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型. 4.函数的零点与极点的关系 例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点. 根据这个定义, 我们可以得到以下结论:设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是: f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1),f (m)(z0)?0 . 不恒等于零的解析函数f(z)如能表示成 其中 在z0解析且 , m为某一正整数, 则z0称为f(z)的m级零点. 该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法. 例3 对 讨论函数 在 处的性态。 §5.2 留数 留数的定义 如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那么根据柯西积分定理 但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 未必再等于零。 两端沿C逐项积分: 定义 D z1 z2 z3 zn C1 C2 C3 Cn C 定理一 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ...,zn 外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则 2.留数定理 证明 把C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有 注意检查定理中的条件要满足。例如 不能应用留数定理。 求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数会更有利. 如果z0是f (z)的可去奇点, 则Res[f(z),z0]=0 . 如果z0 是本性奇点, 则只好将其展开成洛朗级数. 如果z0 是极点, 则有如下规则: 3. (极点)留数的计算规则 规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则 事实上, 由于f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,(z-z0)m f(z)=c-m+c-m +1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+..., 规则1 如果z0为f (z)的一级极点, 则 令 z?z0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)! 就是Res[f(z),z0],即得规则2,当 m=1时就是规则1。 即得 规则3。 由规则1, 得 我们也可以用规则3来求留数: 比用规则1更简单! 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 Complex Analysis an