整体思想的解题策略.pdfVIP

整体思想的解题策略整体思想的解题策略 整体思想的解题策略整体思想的解题策略 人们在考虑问题时，通常把一个问题分成若干个简单的小问题，尽可能地分 散难点，然后再各个击破，分而治之。本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法 恰恰相反。在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局 部因素合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体 思想方法。这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景， 达到快捷、简便的解题目的。 一、一、构造整体构造整体 一一、、构造整体构造整体 在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。 1 3 5 2n − 1 1 例 1：证明 × × …× ＜ 2 4 6 2n 2n + 1 1 3 5 2n − 1 2 4 6 2n 证：设 M= × × …× ，N= × × …× ，显然M ＜N 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1 1 3 5 2n − 1 2 4 6 2n 1 则 MN=( × × …× )( × × …× )= 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1 2n + 1 2 2 1 1 ∵M ＜MN ∴M ＜ 故 M ＜ 2n + 1 2n + 1 评注：本解法抓住 M ，N 这两个整体，使问题得到解决。本题还可以用数 学归纳法证明，但显然较为繁琐。 2 2 2 例 2 ：设三个方程ax +bx+c=0，bx +cx+a=0，cx +ax+b=0 有公共实数解，求 实数 a、b 、c 之间的关系。 解：设三个方程的公共实数根为 x ，则 0 ax 2+bx +c=0 ① 0 0 bx 2+cx +a=0 ② 0 0 2 cx +ax +b=0 ③ 0 0 ①+②+③ (a+b+c)( x 2+x +1)=0 0 0 2 1 3 ∵x +x +1=(x + )+ ＞0 ，∴a+b+c=0 0 0 0 2 4 评注：本题欲求 a、b 、c 关系，似乎难以下手，若能构造 a+b+c 这一整体， 使问题的解决豁然开朗。 二、二、整体求解整体求解 二二、、整体求解整体求解 解题过程中，视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接 得到问题的答案。 例 3：设有四个数,其中每三个数之和分别为 22、20、17、25，求此四个数。 解：设此四个数之和为 x ，则得方程 (x －22)+(x －20)+(x －17)+(x－25)=x ，解得x=28 ∴四数依次为8、3、6、11 评注：本题解法考虑到四数之和——问题的整体，可使问题中四个数变为只 是一个未知数，从而使问题得到有效的解决。本题若按通常解题习惯，须分别设