三个正数的算术-几何平均不等式与绝对值不等式的解法.ppt

2、绝对值不等式的解法 复习：如果a0，则 |x|a的解集是(-a, a)； |x|a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞) * 定理1： 如果a,b∈R，那么a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立 。 定理2： 如果a,b∈R+，那么 ，当且仅当a=b时，等号成立 。 猜想：对于3个正数a，b，c，可能有： 类比两个正数基本不等式的形式： 当且仅当a=b时，等号成立． 当且仅当a=b=c时，等 号成立． 推广：n个正数的算术—几何平均不等式： 定理1： 如果a,b,c∈R+，那么a3+b3 +c3≥3abc，当且仅当a=b=c时，等号成立 。 定理2： 如果a,b,c∈R+，那么 ，当且仅当a=b=c时，等号成立 。 用基本不等式证明不等式 注：多次运用基本不等式时注意限制等号成立的多重条件。 练习： 定理 如果 ，那么 当且仅当a=b=c时，等号成立． （１）若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值． （２）若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值． 一正 二定 三相等 解法1：由 知 ，则 例１ 求函数　　　　　　　　的最小值． 下面解法是否正确？为什么？ 例 １ 求函数　　　　　　　　的最小值． 解法2： 由　 知 则 A、6　　B、　　　C、9　　　D、12　　　 （　） 变式： C 变式： 8 练习： 8 A、4　　B、3　 C、6　　D、5　　　 B A、0　　B、1　　C、　　　D、　　　 （　） D 关于绝对值还有什么性质呢? 表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离. 绝对值不等式 O a -a x O -a a x |x|a |x|a 解题反思： 整体换元。 例1 解不等式 (1) |3x-1|≤6 (2) |2-x|3 归纳：形如| f(x)|a, |f(x)|a 不等式的解法: 变1　解不等式 | 5x-6 | 6 – x 分析：对绝对值里面的代数式符号讨论 5x-6 ≥ 0 5x-66-x (Ⅰ)或 　　　　 (Ⅱ) 5x-60 -(5x-6)6-x 解(Ⅰ)得：6/5≤x2 解(Ⅱ) 得：0x6/5 取它们的并集得：（0，2） (Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为 5x-66-x，解得x2, 所以6/5≤x＜2 (Ⅱ)当5x-60,即x6/5时，不等式化为 -(5x-6)6-x，解得x0 所以0x6/5 取(Ⅰ)、 (Ⅱ) 并集得原不等式解集为(0, 2) 解 原式可化为 变1　解不等式 | 5x-6 | 6 – x 另解： 分析 利用|x|a 原不等式转化为 -(6-x)5x-6(6-x) 因此,原不等式的解集为 (0 , 2) -(6-x)5x-6 变1 解不等式 | 5x-6 | 6 – x 5x-6 6-x x 0 x 2 即 ∴ ∴ 0 x 2 总结: |f(x)|g(x) -g(x)f(x)g(x) |f(x)|g(x) f(x)g(x) 或f(x)-g(x) 变2 解不等式 -3≤x≤3 练习： 3.型如|x+a|+|x+b|≥k(k∈R)不等式解法 例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5 方法一：利用绝对值的几何意义，体现了数型结合的思想． -2 1 2 -3 解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2 所以原不等式的解为 *