第一章误差2015PPT.ppt

;计算方法讲述的基本内容 如何把数学模型归结为数值问题 如何制定快速的算法 如何估计一个给定算法的精度 分析误差在计算过程中的积累和传播 如何构造精度更高的算法 如何使算法较少的占用存储量 如何分析算法的优缺点; 本章内容 §1误差的来源 §2 浮点数，误差、误差限 有效数字 §3 相对误差和相对误差限 §4 误差的传播 §5 减少运算误差的原则 ;要求掌握的内容;计算方法课程主要讨论如何构造求数学模型近似解的算法，讨论算法的数学原理、误差和复杂性，配合程序设计进行计算试验并分析试验结果。 与纯数学的理论方法不同，用数值计算方法所求出的结果一般不是解的精确值或者准确的解析表达式，而是所求真解的某些近似值或近似曲线。;;;在用计算方法解题过程中可能产生的误差归纳起来有如下几类： 1. 模型误差 2. 观测误差 3. 截断误差 4. 舍入误差;用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型，这就要对实际问题进行抽象、简化，因而数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差 数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述 数学模型的准确解与实际问题的真解不同;在数学模型中通常包含各种各样的参变量，如温度、长度、电压等，这些参数往往是通过观测得到的，因此也带来了误差，这种误差叫观测误差 数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的 由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制,使数据含有测量误差,这类误差叫做观测误差或数据误差 根据实际情况可以得到误差上下界 计算方法中需要了解观测误差,以便选择合理的数值方法与之适应;精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫截断误差 例如, 函数f(x)用泰勒(Taylor)多项式 ;在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算 需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处理 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差;第一章误差;; ; ;计算机中数的计算特点: 1. 加法先对阶,后运算,再舍入 2. 乘法先运算,再舍入 3. 不在计算机数系中的数做四舍五入处理;;;;;我们表示一个近似数时，为了能反映它的精确程度，常常用到“有效数字”的概念。 定义： 如果x的近似值x*的误差限是某一位的半个单位,由该位到x*的第一位非零数字一共有n位，就称x*有n位有效数字,或者说x*准确到该位。 例: ;1.2 有效数字和误差限的关系;例5. 3.142作为π的近似值时有几位有效数字 解： 3.142 = 0.3142× p = 1 |π-3.142 |=|3.141592… -3.142| ＜ 0.00041 ＜ 0.0005= p –n =1–n =-3 所以 n =4，具有4位有效数字;;;例7 若 是 的具有六位;若 是 的具有五位有;;;;1.3.2 相对误差和相对误差限;1.3.4 有效数字与相对误差;相对误差限 而 所以 ; 一般应用中可以取?r*=1/2 ?10-(n-1),n越大,?r*越小, ∴有效数字越多，相对误差就越小 例7 取3.14作为?的四舍五入的近似值时，求其 相对误差限 解：3.14=0.314 ?101 =3 p=1 ∵ 四舍五入的近似值,其各位都是有效数字 ∴ n=3 ?r*=1/2 ?10-(n-1)=1/2*3 ?10-2=17%;例8 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相 对误差限 解：已知 n=2 代入公式 ?r*=1/2x1 ?10-(n-1)得 ?r*=1/2x1 ?10-1 x*的第一位有效数字x1没有给出，可进行如下讨论：当 x1=1 ?r*=1/2x1 ?10-1=1/2*1 ?10-1=5% x1=9 ?r*=1/2x1 ?10-1=1/2*9 ?10-1=0.56% 取 x1=1 时相对误差限为最大，即 5%;1.3.4 有效数字与相对误差;例9 已知近似数x*的相对误差限为0.3%，问x* 有几位有效数字？ 解：由;;1.4 误差的传播;由;例11 设 ,;即x的微分表