第一章量子力学基础PPT.ppt

能量算符 也称为哈密顿算符。 同样可以很容易求出角动量L及其在球坐标系中三个分量Lx、Ly、Lz的算符及角动量平方L2算符的表达式： 直角坐标系和球坐标系之间的变换关系 θ ：0 ~ π φ：0 ~ 2π r ：0 ~ ∞ 直角坐标系和球坐标系中的Laplace算符表示： 则算符 称为线性算符。 若算符 作用在任意两个函数 和 的代数和[ + ]上的结果等于这一算符 分别作用在 和 上的代数和 + 上，即 2. 线性算符 算符 和 都是线性的， 和 不是线性算符 3. 厄米算符（自轭算符） 如果算符 对于任意函数 下式成立 就称算符 为厄米算符 例1：乘号“?”为厄米算符。 4. 线性厄米算符 如果一个算符即是线性的又是厄米的，则这个算符就是线性厄米算符。 微观体系中任何一个力学量对应的算符都是线性厄米算符——量子力学基本假定之二。 5. 算符的运算规则 (1) 算符的相等： 若 ，则 (2) 算符的加法：满足交换律和结合律 若 则 若 则 (3) 算符的乘法：一般不满足交换律 若 ，则 ，而 。 算符的对易关系： 称为算符对易关系中的对易子，用 表示。 例如： 所以 三、本征态、本征值和Schr?dinger方程 1. 本征函数的正交性及归一性 假设Ⅲ：若某一力学量A的算符 作用于某一状态函数Ψ后， 等于某一常数 a 乘以Ψ ，即 Ψ= aΨ ，那么对于Ψ 所描述的这样一个微观体系的状态，其力学量A具 有确定的数值 a ，a 就称为力学量算符 的本征值， Ψ称为 的本征态或本征函数； Ψ= aΨ 称为 的本征方程。 若： ，则函数Ψ1(x)和Ψ2(x)彼此正交。 本征函数正交性定理Ⅰ： 属于同一厄米算符 的不同本征值am和an的本征函数 Ψm和Ψn彼此正交。（即， 为厄米算符，Ψm 和Ψn为2 个不同本征函数，am和an为2个与Ψm 和Ψn相对应的本 征值，则 ）。而厄米算符的本征值一 定为实数。 本征函数正交性定理Ⅱ： 属于同一厄米算符 相同本征值an的不同本征函数系列 {Ψn1，Ψn2，……，Ψnf}任意线性组合为Ψn=c1Ψn1+c2Ψn2+ …+ cfΨnf后，Ψn仍然是 属于同一本征值an的本征函数。 2. 本征函数的完备系列 Ψn1= aΨn1 Ψn2= aΨn2 Ψnf= aΨnf Ψn= aΨn，其中Ψn=c1Ψn1+c2Ψn2+…+ cfΨnf 若： ，则函数Ψ1(x)和Ψ2(x)彼此正交。 有相同定义域和相同自变量，并满足边界条件的连续函数的任意线性组合 就构成了该函数的完备系列{Ψn(x)}。 3. Schr?dinger 方程 牛顿第二定律对于速度远小于光速的宏观物理现象是正确的。 微观粒子的运动状态要用波函数Ψ(x，y，z，t)来描述，波函数Ψ(x，y，z，t)随时间的变化要由Schr?dinger方程来表达： 化学所讨论的状态——多数是定态——其几率密度分布不随时间而改变的状态。描述定态的Ψ(x，y，z，t)必定具有下列形式 ω——常数。 波函数的这种形式，可保证粒子在空间各点出现的几率密度不随t 改变。 因此，定态粒子的状态可用不显含 t 的函数ψ (x，y，z)来描写， ψ(x，y，z)——定态波函数，简称波函数。 上式左边只是 t 的函数，右边只是(x,y,z)的函数，两边必等于同一常数(E) 整