统计估计方法.pptVIP

数理统计是以概率论为理论基础，根据试验或观察到的数 据，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和推断的一 门科学。可分为两类： 描述统计学：对随机现象进行观测、试验，以取得有代 表性的观测值； 推断统计学：对已取得的观测值进行整理、分析，作出 推断、决策，从而找出所研究的对象的规律性。 概率统计中统计部分主要学习的是推断统计学。包括参 数估计、假设检验、回归分析。 §4.1 从一个实际问题谈起 §4.2 数理统计中的某些概念 一、总体与个体 定义 在数理统计学中，研究的问题所涉及的对象的全体 称为母体或总体，其中的元素称为个体或单元，总体中所含 个体的数量称为总体容量。 若总体容量为有限值，则称总体为有限总体; 若总体容量为无限值，则称总体为无限总体， 数理统计中，所关心的是总体的一项或几项数量指标及 其分布，因此总体一般用随机变量表示，并把随机变量的分 布称为总体的分布。 二、样本 定义 从总体按一定的规则抽查的一部分个体的过程称为 抽样，所抽到的个体称为样本或子样。样本中所包含的个体 数目n称为样本容量。对样本进行多次观察得到的一组数值称 为样本观察值或样本值。 设总体为一个随机变量X，其分布函数为F(x)。抽样得到 的n个样本用随机变量X1、X2、…、Xn表示，假设 X1、X2、…、Xn相互独立; 具有相同的分布函数F(x)， 则称(X1,X2,…,Xn)为来自母体X的(样本容量为n的简单随机)样 本。 获得简单样本的方法称为简单随机抽样。 简单随机抽样需满足以下条件： 代表性 为保证每一个个体能代表总体(即与总体有相同的分布)， 即总体中每一个个体被抽到的概率需相同； 独立性 每个个体的取值不影响其他个体的取值，即对应的随机向 量是相互独立的。 简单随机样本的分布可由总体的分布确定： 若总体的分布为F(x)，则样本(X1,X2,…,Xn)的联合分布为 F(x1,x2,…,xn)=F(x1)F(x2)…F(xn) 若总体为离散型随机变量，概率分布为 P{X=xn}=pn， n=1,2,… 则样本(X1,X2,…,Xn)的联合概率分布为 例 设总体X服从参数为λ的Poisson分布，则来自此总体的 样本(X1,X2,…,Xn)的联合概率分布为 若总体为连续型随机变量，概率密度为f(x)。则样本 (X1,X2,…,Xn)的联合概率密度为 f(x1,x2,…,xn)=f(x1)f(x2)…f(xn)。 例 设总体X服从参数为λ的指数分布，则来自此总体的样 本(X1,X2,…,Xn)的联合概率密度为 三、统计量 定义 设(X1,X2,…,Xn)为来自总体X的一个样本， n元实函 数g(x1,x2,…,xn)中不含未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)为一个统 计量。 注意 统计量也是一个随机变量； 若经观察得到(x1,x2,…,xn)为样本(X1,X2,…,Xn)的样本值， 则称g(x1,x2,…,xn)为g(X1,X2,…,Xn)为观察值； 统计量中不能含有未知参数。 常见的统计量：(X1,X2,…,Xn)为来自总体X的一个样本。 样本均值 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩(k=1,2,…) 样本k阶中心矩 定理 设(X1,X2,…,Xn)为来自总体X的一个样本，总体X的二 阶矩存在，则 §4.3 抽样分布 定义 统计量的分布称为抽样分布。 一、χ2分布 定义 设随机变量X1、X2、…、Xn相互独立，且都服从标 准正态分布，则随机变量X12+X22+…+Xn2所服从的分布称为自 由度为n的χ2分布，记为χ2~χ2(n)。 定理 若χ2~χ2(n)，则χ2为连续型随机变量，其概率密度为 性质 χ2分布的性质： 可加性 设χ12~χ2(n1)，χ22~χ2(n2)，且χ12、χ22相互独立，则 χ12+χ22~χ2(n1+n2)； 期望和方差 设χ2~χ2(n)，则Eχ2=n，Dχ2=2n。 定义 设χ2~χ2(n)，对α∈(0,1)，若λ满足 则称λ为χ2分布的上α分位点，记为 例 若χ2~χ2(11)，P{χ2λ1}=P{χ2λ2}=0.025，则λ1=