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关于数学分析中极限求解的若干方法 摘要： 在数学分析中,极限是一个蕴含深刻辩证法的数学概念,其中渗透着常数与变数、有限与无限、精确与近似等.研究函数的性质实质上是研究各种类型的极限,如连续、导数、定积分、级数等等.因此,极限是数学分析中非常重要的一个概念.本文主要探讨了数学分析中极限求解的几种思路和方法,结合具体的例子分析了一般极限的求解过程,给出了一般极限求解的方法和技巧,揭示了极限求解的解题思路． 关键词：函数；极限；方法 Some Solutions of Getting Limit in Mathematical Analysis Abstract: Limit contains profound dialectical mathematical concepts, it contains constan- t and variable, limited and infinite, precise and approximate .In the mathematical analysis, it h- as a variety of forms of limits.This paper mainly discusses some ideas and methods in solving the limits of mathematical analysis , analysis the solving process of a general limit,gives the g- eneral solution and skill of limit, and also reveals the thoughts of geting the limit,which is co- mbined with concrete examples. Key words: Function; Limit; Solution 1引言 极限是数学分析中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.纵观数学的发展,我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程.它把初等数学扩展为一个新的阶段—变量数学,整个数学分析都是以极限为基础而展开的一门数学学科.从不同的数学角度去体验和理解极限这一数学概念,对于学好数学分析和其他相关课程具有很重要的意义.本文主要结合相关概念、定理、性质和例题,对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总结. 2 数学分析中极限求解的方法 2.1 利用定义求极限 定义 1 设函数在点的某个空心邻域内有定义,为定数.若对任给的,存在正数,使得当时有 ， 则称函数当趋于时以为极限,记作 或 . 例 1 用极限的定义证明. 证 由于,,因此 . 于是,对任给的,取 则当时,有 注 用极限的定义时,只需要证明存在,故求解的关键在于不等式的建立.在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧,但不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大,而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大,有时还需加入一些限制条件,限制条件必须和所求的(或)一致,最后结合在一起考虑. 2.2 利用极限的运算法则求极限 定理 1 已知,都存在,极限值分别为,,则 (1) ； (2) ； (3) （此时需成立). 例 2 求. 解 原式 . 注 1 对于和、差、积、商形式的函数求极限,可以采用极限运算法则,使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简,变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等. 注 2 运用极限法则时,必须注意只有各项极限都存在(对商,还要分母极限不为零)时才能适用. 2.3 利用单调有界准则求极限 定理 2 在实数系中,有界的单调数列必有极限. 例 3 证明数列（n重根式)的极限存在. 分析 显然,故数列单调增加.下面证有界.由于数列由递推关系给出,解题时通常先估计出它的上下界,再用数学归纳法证明.下界显然是,取上界时考虑单调递增数列的极限是它的最小上界,可先假设极限存在,且设,再由,易得,对其两边求极限得,解得,显然所有大于的实数都是的上界,为便于计算,取的上界为3,然后用数学归纳法加以证明. 证明 (1) 显然,故数列单调增加； (2) 显然0,假设,则， 再对式子两边求极限得