力学系统运动的类属性质研究.PDFVIP

第20 卷 第2 期 Vol.20　No.2 2003 年6 月 Journal of the Graduate School of the hinese Academy of Sciences June　2003 ＊ 1 2 3 徐躬耦 杨亚天 徐鸣洁 (1 南京大学物理系, 南京210093 ;2 福建师范大学物理系, 福州 350007;3 南京大学地 科学系, 南京 210093) (2002 年3月25 日收稿;2002 年5 月13 日收修改稿) 　　动力系统类属性质研究着眼于对某 一类系统的运动概括出来的共性. 知经典可积系 统的运动是规则的, 可用解析函数来描述, 而不可积系统则相反.从简谐振子入手, 指出动力对 称性群的存在是能有规则运动的前提, 还把这 一概括出来的抽象陈述推广到了更一般的经典情 形.量子力学是在哈密顿力学基础上, 注入微观系统的特殊要求而建立起来的, 所以这 一关于经 典规则运动的陈述可以推广到相应的量子情形, 从而更好地阐明了量子经典对应的涵义. 　动力学类属性质, 动力对称性群, 量子经典对应 　O413.1 1 　 哈密顿力学系统的运动只是它的各个运动自由度的力学性质q,p 随时间的演化, 相对于生物层次、 社会层次的系统的运动而言, 是最简单的.但在上一个世纪, 一方面基于实验的发现, 在哈密顿力学的基 础上发展为量子力学 ;另一方面又指出哈密顿力学系统也可以有极端复杂的混沌运动, 所以量子力学系 统中的混沌运动也成了人们关注的课题.在今天, 人们不仅要考虑一个具体的力学系统(经典或量子)的 动力学方程的求解, 还应当进一步考虑运动的类属性质的研究. 力学性质的变化是无处不在的, 而且是最基本的;另一方面, 力学的理论构架又是最严谨的.可以想 象力学系统中运动类属性质的研究, 与其他层次中相应问题的研究会有可供彼此借鉴之处.故分别就经 典力学系统和量子系统谈谈我们研究工作中的一些体会. 2 　 经典力学系统, 相对来说是最简单的系统.即使如此, 也仅只单个自由度的系统的运动方程才总是 可积的, 能用解析函数来描述.其相点轨迹对于初始条件的微小变动不会呈指数不稳定性, 通常称为规则 运动.含两个或两个以上自由度的系统的运动方程, 往往不可积, 不能用解析函数来描述, 其演化过程涉 及到一系列分岔, 可以很不规则, 甚至发展为强混沌运动.经典可积系统的规则运动和经典不可积系统的 [1] 强混沌运动是两类各有鲜明类属性质的运动 .类属性质是指共性而言的, 既包括机制, 也包括特征行 为.对于这样的共性研究, 只能从典型系统入手, 用群论、拓扑学等适合于定性研究的方法先进行具体讨 论;然后辅以其他普适的要求, 扩展到更宽广的范畴去讨论.类属性质的研究与具体性质的研究侧重点不 同, 方法也就自然有差异. 在经典力学中, 刘维定理指出:可积系统的哈密顿量可表为与运动自由度数目相等的作用量的函数, 与角变量无关.形式上看来, 这好象是相点空间中的一种对称性.事实上, 哈密顿力学中的相点坐标并不 ＊国家基础性研究非线性科学资助项目;国家自然科学基金资助项目 E-mail :goxu@nju.edu.cn 　1　　78 中国科学院研究生院学报 第20 卷 是彼此独立的量, 它们有不同的量纲和不同的时间反演性质.要突出可积系统所特有的对称性, 就必须先 作如下的处理. 先从单个运动自由度的经典谐振子入手.其哈密顿量为 2 2 p kq H