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第八章 时间序列分析 时间序列是指按时间先后顺序排列的随机序列,或者 说是定义在概率空间(Ω,F,P)上的一串有序随机变量集 合{Xt,t=0,±1,…},简记为{Xt};它的每一个样本(现实) 序列,是指按时间先后顺序对Xt所反映的具体随机现象或 系统进行观测或试验所得到的一串动态数{Xt,t=0,±1, …}.所谓时间序列分析,就是根据有序随机变量或者观测 得到的有序数据之间相互依赖所包含的信息,用概率统计 方法定量地建立一个合适的数学模型,并根据这个模型对 相应序列所反映的过程或系统作出预报或进行控制. 本章主要以平稳时间序列为讨论对象,着重介绍一类 具体的,在自然科学、工程技术及社会、经济学的建模分 析中起着非常重要作用的平稳时间序列模型--自回归滑 动平均模型,简称ARMA模型. ARMA模型 8.1 ARMA模型 1.自回归模型 设{Xt}为零均值的实平稳时间序列, 定义阶数为p的自 回归模型为 Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+at, (☆) E[at]=0, E[atXt]=0,s＞t, E[asat]= 模型(☆)简记为AR(p). AR(p)是一个动态模型, 是时间序列{Xt}自身回归的表 达式,所以称自回归模型.满足AR(p)模型的随机序列称为 AR(p)序列,其中{yk,k=1,2,…,p}称为自回归系数. 从白 噪声序列{at}所满足的条件看出,at之间互不相关,且at与 以前的观测值也不相关,{at}亦称为新信息序列, 在时间 序列分析的预报理论中有重要应用. ARMA模型 为方便起见,引进延迟算子概念.令 BXt=Xt-1, B2Xt=B(BXt)=Xt-2 . 一般有BkXt=Xt-k(k=1,2,3,…),称B为一步延迟算子,Bk为 k步延迟算子. 于是(☆)式可以写成 φ(B)Xt=at, (☆) 其中φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp. (☆) 对于(☆)式的AR(p)模型,若满足条件:φ(B)=0的根全在单 位圆外,即所有根的模都大于l, 则称此条件为AR(p)模型 的平稳性条件.当模型(☆)满足平稳性条件时,φ-1(B)存在 且一般是B的幂级数,于是(☆)式又可写作 Xt=φ-1(B)at. ARMA模型 称为逆转形式.模型(☆)可以看做是把相关的{Xt}变为一 个互不相关序列{at}的系统. 2.滑动平均模型 设{Xt}为零均值的实平稳时间序列, 定义阶数为q的滑 动平均模型为 Xt=at-θ1at-1-…-θqat-q, (☆) 其中(θk,k=1,2,…,q}. θt称为滑动平均系数并简记(☆) 模型为MA(q).满足MA(q)模型的随机序列称为MA(q)序列. 用延迟算子表示,(☆)式可以写成 Xt=θ(B)at, (★) 其中θ(B)=1-θ1B-…-θqBq. (★) 对于(★)式的MA(q)模型, 若满足条件: θ(B)=0的根全 ARMA模型 在单位圆外,即所有根的模都大于1, 则称此条件为MA(q) 模型的可逆性条件.当模型(★)满足可逆性条件时,θ-1(B) 存在,此时(★)式可以写成 at=θ-1(B)Xt, 称它为逆转形式.模型(★)中的Xt可以看做是白噪声序列 {at}输入线性系统中的输出. 3.自回归滑动平均模型 设{Xt}是零均值的实平稳时间序列,定义p阶自回归q阶 滑动平均混合模型为 Xt-φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p=at-θ1at-1-…-θqat-q,(★) 或 φ(B)Xt=θ(B)at. (△) 其中φ(B)和θ(B)分别由(☆)式和(★)式所表示,且φ(B)和 ARMA模型 θ(B)无公共因子,φ(B)满足平稳性条件,θ(B)满足可逆性 条件.模型(★)记为ARMA(p,q). 满足ARMA(p,q)模型的随 机序列,称为ARMA(p,q)序列. 显然当q=0时,ARMA(p,0)就是AR(p);当p=0时,ARMA(0,q) 就是MA(q). 如平稳过程的时域分析与频域分析有对应关系一样,这 里介绍ARMA(p,q)序列与具有有理谱密度的平稳序列之间 存在着对应关系,并且指出一个平稳序列在什么条件下是 ARMA(