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第五章 二次型 （1）判断二次曲线 本章结构 二次型的定义及矩阵表示 正交向量组 特征值与特征向量 方阵对角化的充要条件 对称方阵对角化 二次型化标准形 本节重点 二次型及标准形定义和矩阵表示 规范正交基概念 Schimidt规范正交化方法 正交矩阵的概念、性质 正交变换的概念和优点 §1 二次型定义及矩阵表示 §2 正交向量组 一. 几个概念 定义2 非负实数 二. 规范正交化 从几何角度分析： 从代数角度分析： Schimidt规范正交化过程： 例6 正交矩阵的性质 例8 判别下列矩阵是否为正交阵． 正交变换性质—优点 思考题 问题： 的形状； （2）判断二次曲面 的形状。 注：若能在保持形状不变的前提下，写成 标准方程，判断形状就容易了。 n 个变量 x1 , x2 , ……, x n 的 f (x1 , x2 , ……, xn ) = 称为二次型. 二次齐次函数 定义 1 f (x1 , x2 , ……, xn ) = 二 次 型 的 矩 阵 (1)A称为二次型 f 的矩阵，A为实对称矩阵； (2)二次型 f 与实对称矩阵A一一对应。 注: 于是二次型的矩阵表示为 f (y1 , y2 , ……, yn ) = 为标准形. 定义2 称 其矩阵为 f (x1 , x2 , ……, xn ) = 寻找可逆的线性变换 保形状不变 本章中心： 记作 使 二次型 转换为标准形。 定义1 设有 n 维向量 为向量 x 与 y 的内积. 称 性质： 称为 n 维向量 性质： 的长度（范数）. 定义3 长为 1 的向量称为单位向量. 若向量 定义5 正交向量组: 一组两两正交的非零向量. 定义4 如果 ，那么称向量 x 与y 正交. 则满足 定理1 正交向量组必线性无关. 证明： 但不为正交向量组. 定义6 规范正交基: 向量空间中由 单位向量构成的两两正交的一个基. 定理2 基 e1 , e2 , …… , er 为规范正交基 当且仅当 定理3 设 是向量空间V的一个基， 与之等价. 则必有规范正交基 比如： 若 线性无关， 则是 的一个基，与之等价的规范正交基存在不唯一。 Schimidt的做法： 令 与 正交 正交化： 单位化： 与 等价. 例5 解 再把它们单位化，取 解 把基础解系正交化，即合所求．亦即取 定义7 如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E , 那么称 A 都是正交矩阵. 例 7 为正交矩阵. 若A为正交阵，则 只能是1或者-1； （4） n 阶矩阵 A 为正交矩阵 A 的列（行）向量组是规范正交向量组. 证明 解 所以它不是正交矩阵． 考察矩阵的第一列和第二列， 由于 所以它是正交矩阵． 由于