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§2 方阵的特征值与特征向量 本章结构： 二次型的定义及矩阵表示 正交向量组 特征值与特征向量 方阵对角化的充要条件 对称方阵对角化 二次型化标准型 本节重点： 一、特征值与特征向量定义： 二、特征值判定和计算： 特征多项式定义： 求n阶特征值和特征向量的方法： 例1： 例3 三、特征向量性质： 不同特征值的特征向量线性无关 四、特征值性质： 例4 思考题： 五、相似矩阵与相似变换的概念 六、相似矩阵与相似变换的性质 七、方阵A可对角化定义： 利用对角矩阵计算矩阵多项式 八、方阵可对角化的充要条件 回顾三个例题 例5 例6 例7 　　利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式 n 阶矩阵A可对角化 A有n 个线性无关的特征向量. 若能求出A的n个线性无关特征向量，则A可对角化，且对角阵主对角线元素恰好是特征向量依次对应的特征值. 定理2 n 阶矩阵 A 可对角化 A有n 个线性无关的特征向量. 上诉推导过程说明： 若A只有m个不同特征值 则 n 阶矩阵A可对角化 相应于每个特征值的最大线性无关特征向量组为： 推论：若A有n个互异的特征值，A可对角化。 分析： 例1 求矩阵 的特征值与特征向量 相应于 的特征向量为 相应于 的特征向量为 例2 求矩阵 的特征值与特征向量 线性无关的特征向量只有2个，矩阵A不能对角化 例3 求矩阵 的特征值与特征向量 例4 能对角化吗？ 判断 解：A 的特征多项式为 因此 A 的特征值为 * 寻找 本章中心： 使二次型 转换为标准形 正交变换具有保距性和保角性 保持形状不变的可逆线性变换 正交变换 (1) 矩阵的特征值与特征向量的计算、性质 (2) 相似矩阵与相似变换的定义、性质 (3) 方阵对角化的充要条件 定义1 设 A 是 n 阶方阵， 和 n 维非零列向量 p 称为 A 的对于特征值 使得 非零向量 p 如果数 的特征向量. 那么数 称为方阵A的特征值， n 维非零列向量 p, st. n 维非零列向量 p, st. 有非零解 p, 定义2 称 为n阶矩阵A的特征方程； 称 为n阶矩阵A的特征多项式. 1. 求特征多项式 就是n阶矩阵A的特征值； 2. 求特征方程 的根 的非零解， 3. 求解齐次线性方程组 就是n阶矩阵A的特征向量. 求矩阵 解 （1）A的特征多项式 （2） A的特征值为 的特征值与特征向量。 （1）特征多项式 （2）特征值为 （3）相应于特征值 相应于 的特征向量为 的特征向量应满足 例1： 求矩阵 的特征值与特征向量。 （4）相应于特征值 相应于 的特征向量为 的特征向量应满足 例1： 求矩阵 的特征值与特征向量。 相应于 的特征向量为 相应于 的特征向量为 结果分析： 线性无关 正交 例1： 求矩阵 的特征值与特征向量。 求矩阵 的特征值与特征向量。 例2： 解 得基础解系 得基础解系 得特征向量 得特征向量 结果分析： 是线性无关向量组 不是正交向量组 求矩阵 的特征值与特征向量。 例2： 求矩阵 的特征值与特征向量。 解 得基础解系 得基础解系 得特征向量 得特征向量 结果分析： 是线性无关向量组 ，不是正交向量组 例3 求矩阵 的特征值与特征向量。 定理1 一个特征向量不可能对应两个不同 的特征值. 定理2 每一个特征值对应一系列特征向量. 证明： 定理3 那么 是分别与之对应的特征向量, 线性无关. 是方阵A的不同特征值， 证明： 定理4 是对应 的线性无关的特征向量组, 是对应 的线性无关的特征向量组, 是对应 的线性无关的特征向量组, 那么 线性无关. 是方阵A的不同特征值， 证明：数学归纳法 时结论自然正确 时 （1）式两端同时左乘A，得 （1）式两端同时左乘λ1 得 代入（1） 得证 线性无关 假设对于 个不同特征值结论正确. 下面考虑m个不同特征值： 由假设，知 代回（2）得 即得证m时结论正确，命题得证. 定理4 则 （1） 是 的特征值. (2) 的特征值. (4) 的特征值. (3) 的特征值. 定理5 设n个特征值为 ，则有 （2） （1） 定义1 设 A，B都 是 n 阶矩阵， 可逆矩阵P,使得 若有 则 称可逆矩阵P 为把A 变成B的相似变换矩阵. 称矩阵 A 与 B 相似， 称 为对A进行相似变换（运算）. 1. 相似关系是等价关系 k个 5. 定理1 相似矩阵有相同的行列式 相似矩阵有相同的特征多项式 相似矩阵有相同的特征值 推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 相