线性代数课件53章节.pptVIP

§3 相似矩阵与方阵对角化 本章结构： 二次型的定义及矩阵表示 正交向量组 特征值与特征向量 方阵对角化的充要条件 对称方阵对角化 二次型化标准型 本节目的与要求： 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、方阵A可对角化定义： 利用对角矩阵计算矩阵多项式 四、方阵可对角化的充要条件 回顾上一节课的三个例题 例5 例6 例7 五、对称矩阵一定能对角化 六、利用正交矩阵将对称矩阵对角化　　 步骤： 例8 例8 例8 例8 例8 例9 例9 例9 例9 例9 利用正交矩阵将对称矩阵 对角化。 解： 解： 正交矩阵为 利用正交矩阵将对称矩阵 对角化。 解： A的特征多项式为 故A的特征值为 利用正交矩阵将对称矩阵 对角化。 解： 相应于 无关的特征向量只有一个，可取为 的特征向量满足 寻找 本章中心： 使二次型 转换为标准形 正交变换 复习： (1)理解相似矩阵的概念与性质； (2)会利用相似矩阵性质解决一些简单问题； (3)理解方阵对角化的充要条件； (4)了解实对称矩阵的特征值、特征向量的性质； (5)会用正交变换法将实对称矩阵化为对角阵。 定义1 设 A，B都 是 n 阶矩阵， 可逆矩阵P,使得 若有 则 称可逆矩阵P 为把A 变成B的相似变换矩阵. 称矩阵 A 与 B 相似， 称 为对A进行相似变换（运算）. 1. 相似关系是等价关系 k个 5. 定理1 相似矩阵有相同的行列式 相似矩阵有相同的特征多项式 相似矩阵有相同的特征值 推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 相似， 称A 可对角化 　　利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式 n 阶矩阵A可对角化 A有n 个线性无关的特征向量. 若能求出A的n个线性无关特征向量，则A可对角化，且对角阵主对角线元素恰好是特征向量依次对应的特征值. 定理2 n 阶矩阵 A 可对角化 A有n 个线性无关的特征向量. 上诉推导过程说明： 若A只有m个不同特征值 则 n 阶矩阵A可对角化 相应于每个特征值的最大线性无关特征向量组为： 推论：若A有n个互异的特征值，A可对角化。 分析： 例1 求矩阵 的特征值与特征向量 相应于 的特征向量为 相应于 的特征向量为 例2 求矩阵 的特征值与特征向量 线性无关的特征向量只有2个，矩阵A不能对角化 例3 求矩阵 的特征值与特征向量 例4 能对角化吗？ 判断 解：A 的特征多项式为 因此 A 的特征值为 对应的特征向量分别为 设 2 阶矩阵 A 的特征值为1, ? 5, 与特征值 求 A . 解 已知 与 相似, 求 x, y. 解 因为相似矩阵有相同的特征值, 而 故 x = 0, y = 1. 特征值 2, y, -1. 根据特征值的性质,有 故A、B有相同的 若 可相似对角化，求 解 引理1 对称矩阵的特征值为实数. 引理2 对称矩阵的不同特征值的 特征向量正交. 推 论: 对称矩阵的特征向量都是实向量. 证明 于是 r 重根，则 特征向量. r 个线性无关的 恰有 引理3 设A 为n 阶对称矩阵, 的特征方程 从而特征值 分析： （1）设对称阵A有m个不同特征值 它们的重数依次为 （2）相应于 恰有 个线性无关的特征向量 （3） 为可逆阵，且有 得知对称方阵A一定可以对角化 其中 定理1 设A 为n 阶对称矩阵, 则必有正交矩阵Q,使 对称方阵A一定可以对角化，而且相似变换 阵不唯一. （1）设对称阵A有m个不同特征值 它们的重数依次为 （2）相应于 恰有 个线性无关的特征向量 ，把它们正交单位化得， （3） 为正交阵，且有 利用正交矩阵将对称矩阵 对角化。 解： A的特征多项式为 故A的特征值为 利用正交矩阵将对称矩阵 对角化。 解： 解： 相应于 无关的特征向量只有一个，可取为 的特征向量满足 利用正交矩阵将对称矩阵 对角化。 解： 解： 相应于 无关的特征向量只有一个，可取为 的特征向量满足 利用正交矩阵将对称矩阵 对角化。 解： 解： 相应于 无关的特征向量只有一个，可取为 的特征向量满足