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第四章 习题课 一、向量组线性关系的判定 例１ 研究下列向量组的线性相关性 例2 例3 例4 二、求向量组的最大无关组 三、向量空间的判定 四、线性方程组通解结构 例8 例9 例10 例11 第四章 习题课 典型例题 一、向量组线性相关性的判定 二、向量组的最大无关组 三、向量空间的判定 四、线性方程组的通解结构 研究这类问题一般有两个方法 方法1 从定义出发 整理得线性方程组 若线性方程组（*）只有零解， 线性无关; 若线性方程组（*）有非零解， 线性相关. 方法２ 利用矩阵的秩 解一: 整理得到 线性相关. （*）有非零解， 解二: 分析： 我们从定义出发考察向量方程 而使每个向量 是否有不全为零的数 恒有非零解. 因为 证明： 线性相关， 故存在不全为0的数 使得 又存在不全为0的数 使得 于是 线性相关. 因此 设向量组 线性无关？ 问 取何值时，向量组 解： 线性无关 线性无关 线性相关； 线性无关. 线性无关. 证： 求：（1）向量组的秩； （2）一个最大无关组； （3）不属于（2）中最大无关组的向量 用最大无关组线性表示. 解 向量组的秩也为3 ； 判断向量的集合是否构成向量空间，需看 集合是否对于加法和数乘两种运算封闭．若封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空间. 解 解 基础解系只含4-3=1个解向量，可取为 通解为 解 基础解系含5-2=3个线性无关的解向量， 可取为 通解为 解 基础解系可取为 通解为 解 证（1）： 设有数 使得 代入（1）得 线性无关 线性无关 证（2）： 我们此问采用秩的方法证明. 线性无关 可逆，故
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