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* * §1.5 可逆矩阵 一、逆矩阵的概念 定义1.10 对于数域 F上的方阵A，如果存在数域 F上的同阶方阵B，使得 , 则称矩阵A为可逆矩阵，并B称为A的逆矩阵, 提问:A的逆矩阵何时存在,是否唯一？ 结论：若A可逆，它的逆矩阵是唯一的。 证： 定义1.11 若n阶矩阵A的行列式 ，则称A为非奇异矩阵 (或非退化矩阵),否则称A是奇异矩阵(或退化矩阵). 定义1.12 验证 定理 1.5 n阶矩阵 为可逆的充分必要条件是A非奇异，并且 证：必要性 设A可逆， 所以 ，即A为非奇异。 充分性 设A非奇异，存在矩阵 同理可证 BA＝E 推论:如果同阶方阵 A,B满足AB=E,则有: 例．求矩阵 的逆矩阵。 所以A可逆。 验证 例．如果 ＝E 可逆矩阵的性质： （1）两个同阶可逆矩阵A，B的乘积是可逆矩阵且 。 （2）可逆矩阵A的转置矩阵AT是可逆矩阵，且 证明: 补充有关证明题 设A为n阶矩阵，证： 例．若A，B，C是同阶矩阵，且A可逆，判断下式的正确性. （1）若AB＝AC，则B＝C，（2）若AB＝CB，则A＝C. （3）若AB＝O，则B＝O，（4）若BC＝O，则B＝O 例．分块方阵 其中A，B分别r阶与k阶可逆方阵， C是 矩阵，O是 零矩阵。证明D可逆，并求D－1。
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