线形代数课件2.4向量组的秩.pptVIP

* * 引例 结论 （1）.一个线性无关的向量组的极大无关组就是本身. （2）.完全由零向量组成的向量组没有极大无关组. （3）.任何一个向量组，只要含有非零向量，就一定有极大无关组. 一.向量组的极大无关组 定义 2.12 设有两个 Rn 中的向量组 I ： ?1 , ?2 , … , ?s , 与 II ： ?1 , ?2 , … , ?t . 如果向量组 I 的每一个向量都可以由向量组 II 线性表出， 则称向量组 I 可由向量组 II 线性表出；如果向量组 I 和向量组 II 可以互相线性表出，则称向量组 I 和 II 等价. 记作 等价向量组的性质 1) 反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2) 对称性：如果向量组 与 等价， 那么向量组 也与 等价. 传递性：如果向量组 与 等价, 与 等价, 那么向量组 与 也等价. 极大无关组的性质 定理 2.8 向量组和它的极大无关组等价. 推论　向量组的任意两个极大无关组之间等价. 因此在讨论向量组之间的一些关系时，可以用极大无关组来代替向量组,使问题的讨论更加方便和简化. 定理 2.9 如果向量组 可由向量组 线性表出， 并且 s t，则向量组 线性相关. 例 2 设 ?1 , ?2 , ?3 与 ?1 , ?2 是 Rn 中的两个向量组，且已知 ?1 = ?1 - 2?2 , ?2 = -2?1 + 3?2 , ?3 = ?1 + 4?2 . 证明 ?1 , ?2 , ?3 线性相关. 证明: 设 x1?1 + x2?2 + x3?3 = 0 . 由于　　x1?1 + x2?2 + x3?3 = x1(?1 - 2?2 ) + (-2?1 + 3?2) + x3(?1 + 4?2 ) = (x1 - 2 x2 + x3)?1 + (-2 x1 + 3 x2 + 4 x3)?2 从而 ?1 , ?2 , ?3 线性相关. 由 可以得到以下推论： 推论 1 如果向量组 ?1 , ?2 , … , ?s 线性无关, 并且可由向量组 ?1 , ?2 , … , ?t 线性表出，则 s ? t . 推论 2 两个等价的，并且都线性无关的向量组所含的向量个数相同. 推论 3 一个向量组的任意两个极大无关组所含的向量个数相同. 定义 2.13 向量组?1 , ?2 , … , ?s 的极大无关组所含的向量个数， 称为该向量组的秩，记作 r (?1 , ?2 , … , ?s ) . 由零向量组成的向量组的秩为零. 一个线性无关的向量组的极大无关组就是该向量组本身，故 向量组 ?1 , ?2 , … , ?s 线性无关的充要条 件是 r (?1 , ?2 , … , ?s ) = s . 定理 2.10 如果 则有 r (?1 , ?2 , … , ?s ) = r (?1 , ?2 , … , ?t ) . 例 3 任意 n + 1 个n维向量一定线性相关. 二、向量组的秩与矩阵的秩的关系 设 A 为数域 F 上的一个 m ? n 矩阵 1. 矩阵行秩与列秩的定义 将 A 的每一行看作一个 n 维向量(或将 A 按行分为 m块)，并记 ?1 = (a11 , a12 , … , a1n) , ?2 = (a21 , a22 , … , a2n) , … , ?m = (am1 , am2 , … , amn) , 为 A 的行向量组; 将 A 的每一列看作一个 m 维向量(或将 A 按列分为 n块)，并记 为 A 的列向量组. 定义 2.14 矩阵 A = ( aij )m ? n 的行向量组 ?1, ?2, … , ?m 的秩称为矩阵 A 的行秩； A 的列向量组 ?1 , 例 4 求矩阵 行秩与列秩. ?2 , … , ?n 的秩称为矩阵 A 的列秩. 2. 矩阵行秩与列秩的关系 定理 2.11 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩. 定理 2.12 矩阵的行秩与列秩相等且即为矩阵的秩