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八年级上同步教学资料 北师版八上《1.2 能得到直角三角形吗》同步辅导 一．教学目标与要求： 1．经历探索勾股定理的逆定理的过程，发展合情推理能力，体会由特殊到一般及数形结合思想。 2．掌握勾股定理及其逆定理，能运用它们解决一些实际问题。 二. 重点与难点 （一）重点 1. 掌握勾股定理的逆定理。 2. 把勾股定理和勾股定理的逆定理学好并能解决一些简单的问题。 ? （二）难点 1. 掌握好勾股定理的逆定理。 3. 能熟练的区分勾股定理和勾股定理的逆定理。 4. 能把勾股定理和勾股定理的逆定理运用于实际，解决实际问题。 三．典型例题 例1 如图，已知：△ABC中，CH是AB边上的高，且CH2=AH·BH 试判断△ABC的形状。 分析：这里有直角三角形、有CH2、可先用勾股定理以了解三边平方的关系 解：∵Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2 Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2 ∴两式相加得，AC2+BC2=AH2+BH2+2CH2=AH2+BH2+2·AH·BH=（AH+BH） 例2 如图，已知：在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD.BD，求证：△ABC是直角三角形。 证明：∵CD⊥AB（已知）?? ∴∠BDC= ∠ADC=90°（垂直定义） 由勾股定理：在RT△ACD中，AC2=AD2+DC2， 在RT△BCD中，BC2=BD2+DC2 又 ∵CD2=AD.BD（已知）??? ∴ AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD.BD+BD2=(AD+BD)2=AB2 ??∴△ABC是直角三角形（直角三角形的判别条件） 点析：勾股定理的逆定理，是另一种判别“直角三角形”的方法，它仅仅依据三边的长度之间的数量关系，而不必计算角度的大小。 ? 例3 已知：在△ABC中，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m、n是正整数，且mn。 试判断△ABC的形状。 分析：首先要确定最大边，然后再用直角三角形判别条件 解：由题意可知，cb，ca ∵a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2 ∴△ABC是直角三角形。 说明：事实上，上例提供了一种寻找勾股数组（有无数组）的方法。另外还有2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1；2n、n2-1、n2+1，也都是勾股数组，你会证明吗？ 例4 若△ABC的三边满足条件：，试判断△ABC的形状。 解： 原式变形得， ∴ ∴ ，， ∵ ∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角。 说明：当方程有多个未知数时，一般先进行恒等变形，挖掘隐含条件 例5 如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，G为DC上一点，且DG= DC，请问：BE与EG垂直吗？为什么？ 分析：连结BG，运用勾股逆定理证△BEG为直角三角形 解：连结BG，设DG=x (以便数形结合，用代数方法判别) 则DC=4a，ED=2a，AE=2a，AB=4a。 ∵Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2=20a2， Rt△EDG中，EG2=5a2， Rt△BCG中，BG2=BC2+CG2=25a2 ∴△BEG中，BG2=BE2+EG2 ∴△BEG为直角三角形，BE⊥EG 说明：这种用设未知数的代数方式证明几何问题的方法在数学中经常用到。 四、巩固练习 判断 （1）在△ABC中，若a2=b2-c2，则△ABC为直角三角形。 （ ） 2、选择 （1）从长度分别为9cm，12cm，15cm，36cm，39cm的五根木棒中，选出三根首尾连接，能组成直角三角形的个数为 （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （2）△ABC的三边a、b、c满足：，则△ABC的形状为（ ） （A）直角三角形 （B）等腰三角形 （C）等边三角形 （D）等腰直角三角形 填空 （1）请完成以下未完成的勾股数：9、40、 ， 8、、17。 （2）一个三角形的三边为0.9，1.5，1.2，这个三角形的面积为 。 4、解答： （1）如图，已知：AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD。问：BC⊥BD吗？为什么？ (2) 如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？ 五、中考题选讲 1、（本小题满分14分） 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五。后人概括为“勾三、股四、弦五”。 (1)、观察：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算、与、，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的