湖南慈利县刘宁-合并同类项.doc

如何列一元一次方程解行程类应用问题 江苏 刘顿 所谓行程类应用问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的应用问题．在列出一元一次方程解这类应用题时，我们常用的公式是：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度． 当考虑两人或两个物体运动时，就有“相向”、“同向”、“背向”这三种情况．“相向而行”是指两者面对面地行进，其距离越来越近；“同向而行”是指两者的运动方向相同；“背向而行”是指两者背对背行进。如果两人或两个物体相向而行，到一定时间就会相遇；相遇后仍按原方向行进，就会变成背向而行。总之，相向而行与背向而行，其运动方向都是相反的，所以我们可作如下分类：两人（物体）运动，如果运动路线不是直线，而是一个圆圈（比如我们在操场上进行环形赛跑），情况就要复杂一些．这时两人（或物体）如果面对面跑，那么也就是背对背跑，这两人（或物体）的距离会有“增加——减少——增加——减少——增加……”的现象；如果不是面对面跑，而是同向跑，那么速度快的，就会比速度慢的先多跑1圈，然后多跑2圈，3圈，……．这两人（或物体）的距离也会有“增加——减少——增加——减少——增加……”的现象．对于这些情况，只要到操场上试一试或在纸上画幅图分析一下，就可以明白． 在行程问题中还有一类顺逆航行的问题．如果航行的工具是轮船，那么常用的相等关系是：顺水速度=静水速度＋水流速度；逆水速度=静水速度－水流速度． 如果航行的工具是飞机，那么常用的相等关系是：顺风速度＝无风时飞机速度＋风速；逆风速度＝无风时飞机速度－风速． 例1　一条环形跑道长400米．甲练习骑自行车，平均每分钟行驶550米；乙练习长跑，平均每分钟跑250米．两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇？ 分析 本题是行程问题的追及问题．它有两个相等关系：甲的路程－乙的路程＝环形跑道－圆的周长；甲用的时间=乙用的时间． 解答 设经过x分钟两人首次相遇．根据题意，得550x－250x=400．解这个方程，得 x=1．即经过1分钟，甲、乙两人首次相遇． 说明 在追及问题中常用的等量关系是：（1）若甲、乙同地出发，甲先行，则乙追上甲时有：甲所走的路程=乙所走的路程；甲所用的时间=乙所用的时间＋甲先行的时间．（2）若甲、乙同时不同地出发，甲在乙后面，则甲追上乙时有：甲所走的路程=乙所走的路程＋甲、乙出发时的距离；甲所用的时间=乙所用的时间．一元一次方程应用题的类型：行程问题 、工程问题、和差倍分问题（生产、做工等各类问题）、调配问题、分配问题、配套问题、增长率问题、数字问题、方案设计与成本分析、古典数学。 （一）行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其基本公式为： 路程=速度×时间。 （2）基本类型：① 相遇问题；② 追及问题； 常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。 （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 例、甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 （1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （1）分析：相遇问题，画图表示为： 等量关系是：　 （2）分析：相背而行，画图表示为：　　 等量关系是： 　 （3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+ 公里= 公里。 解：设x小时后两车相距600公里，由题意得。 （4）分析：追及问题，画图表示为： 等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。 　　 解：设x小时后快车追上慢车。由题意得，　　 （5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+ 公里。 解： 1、已知A、B相距60千米，甲位于A处，骑自行车，他的速度是每小时15千米，乙位于B处，开汽车，他的速度是每小时45千米。 （1）若他们同时相向而行，则经几小时他们相遇？ （2）若他们相向而行，小明先骑车0.5小时，问几小时他们相遇？ （3）若他们同时同向而行，则经几小时乙追上甲？ （4）若他们同向而行，甲先骑车1小时以后，问乙经几小时追上甲？ （5）若他们同向而行，甲先骑车1小时以后，发现他的一个重要文件在乙那里，因此掉头去