浙江高考历年真题之立体几何大题(文科).docVIP

浙江高考历年真题之立体几何大题 （教师版） 1、（2005年）如图，在三棱锥P－PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)求证∥平面 (Ⅱ) 求直线与平面PBC所成角的大小； 解析： 方法一： (Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点， ， (Ⅱ) ， 方法二： 　　 　 2、（2006年）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90° ,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. (Ⅰ)求证：PB⊥DM; (Ⅱ)求BD与平面ADMN所成的角。 解析：方法一： （Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB, 所以AN⊥PB. 因为AD⊥面PAB, 所以AD⊥PB. 从而PB⊥平面ADMN. ，所以PB⊥DM. （Ⅱ）连结DN， 因为PB⊥平面ADMN， 所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角. 在中, 故BD与平面ADMN所成的角是. 方法二： 如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系,设BC=1， 则 （Ⅰ）因为 ，所以PB⊥DM . （Ⅱ）因为 所以PB⊥AD. 又PB⊥DM. 因此的余角即是BD与平面ADMN所成的角. 因为 ，所以= 因此BD与平面ADMN所成的角为. 3、（2007年）在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点． （I）求证：； （II）求与平面所成的角的正切值． 解析：方法一： （I）证明：因为，是的中点， 所以． 又因为平面，所以． （II）连结，设，则， 在直角梯形中，，是的中点， 所以，，，因此． 因为平面，所以，因此平面， 故是直线和平面所成的角． 在中，，，． 方法二： 如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，． （I）证明：因为，， 所以，故． （II）设向量与平面垂直，则，， 即，． 因为，， 所以，，即， 因为，， 与平面所成的角是与夹角的余角，所以． 4、（2008年）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF， BCF=CEF=,AD=,EF=2。 （Ⅰ）求证：AE//平面DCF； （Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？ 解析：（Ⅰ）方法一： （Ⅰ）证明：过点作交于，连结， 可得四边形为矩形， 又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形， 故． 因为平面，平面，所以平面． （Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结． 由平面平面，，得 平面，从而． 所以为二面角的平面角． 在中，因为，，所以，． 又因为，所以，从而． 于是． 因为，所以当为时，二面角的大小为． 方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．设， 则，，，，． （Ⅰ）证明：，，， 所以，，从而，， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． 故平面． （Ⅱ）因为，， 所以，，从而 解得．所以，． 设与平面垂直，则，，解得． 又因为平面，， 所以， 得到．所以当为时，二面角的大小为． 5、（2009年）如图，DC平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,ACB=120°，P,Q分别为AE,AB的中点. （Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD； （Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值. 解析：（Ⅰ）证明：连接，在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD （Ⅱ）在中，，所以 而DC平面ABC，，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是 在中， ， 所以’DE，使平面A’DE ⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。 （Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE； （Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。 解析：(Ⅰ)证明：取A′D的中点G，连结GF，CE，由条件易知 FG∥CD，FG=CD，BE∥CD,BE=CD. 所以FG∥BE,FG=BE. 故四边形BEGF为平行四边形，所以BF∥EG。 因为平面，BF平面， 所以 BF//平面。 （Ⅱ）在平行四边形,ABCD中，设BC=a 则AB=CD=2a, AD=AE=EB=a,连CE, 因为 在△BCE中，可得CE=a, 在△ADE中，可得DE=a, 在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE, 在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE. 由平面A′DE⊥平面BCD，可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE. 取A′E的中点N，连线NM、NF， 所以NF⊥DE,NF⊥A′M. 因为DE交A′M于M，