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线性代数总复习（2008、12） (答案都在后面) 一、填空题 1.求行列式D= 12 。 2.若四行列式=　0 。 3.已知矩阵满足A,则 ＝ 。 4.，，，且线性无关。则 线性 无关 。 5.方程的系数矩阵为 ，基础解系为 。 6.三阶方阵有三个特征值，若 则 5 。 7.二次型正定时，t满足 。 8.若方阵有特征值1，则方阵有特征值 2 。 9.若=1，则= 8 。 10.若四行列式　0 　 。 11.已知矩阵满足，，则（）= 。 12.若，，，线性相关，则 -3 。 13.已知，是元非齐次线性方程组两个解向量，则对应齐次线性方程组有一个非零解 。 14.设阶矩阵的特征值为和，则的特征值为 。 15.三阶方阵有三个特征值，若 则 11 。 16.二次型正定时，t满足 。 17.若,则 6 。 18.设阶方阵满足，则有 。 19.向量组线性 相关 。 20.若三元非齐次线性方程组有解满足，，则的通解为 。 21.若为矩阵的特征值，则矩阵有特征值 2 。 22.已知四阶行列式， 则. 23.设为四阶方阵，， 则 . 24.设， 则. 25.设均为可逆矩阵，， 则. 26.矩阵的秩. 27.若阶矩阵满足，则. 28．设， 若向量满足， 则. 29.设，为阶非零矩阵，且，则. 30.设，若向量满足，则. 31.设四元非齐次线性方程组有两个不同的解，且， 则该方程组的全部解为 . 32.若 ，， 则. 33.设为3阶方阵，为其伴随矩阵， ， 则. 34.设均为可逆矩阵，， 则. 35.若阶矩阵满足，则. 36.设齐次线性方程组有非零解， 则. 37. 设， 其中，则. 38．若矩阵的秩， 则. 39.齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数为. 40.中任意个向量必__________________________．（填线性相关或线性 无关） 41.设 及 都是非齐次线性方程组的解 向量，则． 二、计算题 1．求行列式的值，未写出的元素都为0。（本小题8分） 解1：取行列式的第一行（列）和第行（列），由拉普拉斯展开，通过递推： ……………………. ……………………. ……………….4分 ==…………………………………………………. ……………….8分 解2：………………….…….4分 =………………………. …….6分 ==……………………. ………………. ………………….8分 2．方程.其中，求X。（本小题8分） 解： 由 得，而可逆， 所以 ………………………………….3分 ………. ………………………………….……....6分 从而，…………………….8分 求齐次线性方程组：的通解. （本小题10分） 解, 即，…………………………………………….3分 让和得和，………………….5分 于是原方程有基础解系为： ，……………………………………………….8分 通解为：（为任意常数）。…….10分 4．当为何值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解时，用基础解系表示出下列线性方程组的全部解。（8分） 解：该方程组的增广矩阵为： （3分）故当时，此时方程组无解，（5分）故当时，此时方程组有无穷多解，且其解可表示为：.（7分）而唯一解的情形不存在。（8分） 5．设三阶矩阵满足， 其中列向量，试求矩阵。（8分） 解 由于三阶矩阵满足，所以 ，（2分）又满足，且 （5分）所以 （8分） 6．求行列式，其中未写出的项为0。（本小题8分） 解：按第一行（列）展开，通过递推： =…………….4分 ==…………………………………………………8分 （或依次对换第行与前一行直到第2行，并依次对换第列与前一列直到第2列获得递推公式。） 7．设矩阵和满足关系式，.其中求矩阵B。（本小题8分） 解：由 得，而可逆， 所以 ……………………………………………….3分 …….5分 所以，………….8分 方程组当取何值时，有唯一解，无解，有无穷多解；并在有无穷多解时,求其通解。（本小题10分） 解： ……….…….3分 当且时，，方程组有唯一解． ……………..…….…….4分 当时，，方程组无解．……………..…….…….5分 当时，，方程组有无穷多解．此时， 原方程组化为：，让得，即得原方程组一特解 对应齐次方程组化为：，让和得齐次方程组的基础解系为： …………………………………..8分 故当时，原方程组的通解为 　　…………..10分 9．设向量组, , , 。 （本题10分） ①求