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例谈位似变换的应用 江苏省东台市唐洋镇中学 杨吟柱（邮编：224233） 位似变换是新课程标准中的新增内容,其性质的综合应用比较广泛。不仅在证明题中有所应用，而且在函数、作图中都有着十分重要的作用。 位似变换在函数中的应用 已知反比例函数，求以坐标原点为位似中心，位似比为：的反比例函数解析式。 分析：要求反比例函数解析式，只要知道一点的坐标，因此在的图象上找一点，所求反比例函数图象上对应点，由已知：：，从而求出点坐标。 解：在图象上取一点，连结并延长至，使：：，则得所求图象上的对应点。 ∴所求反比例函数关系式为 已知，如图，抛物线，求以原点为位似中心，且位似比为：的抛物线的关系式。 分析：要求抛物线的关系式，可以寻找特殊点的坐标。已知抛物线顶点，与 轴交点，根据位似性质可以求出未知抛物线的顶点和与轴交点的坐标。 解：∵抛物线 ∴顶点，与轴交点 所求抛物线与已知抛物线是位似图形，根据位似图形的性质可得所求抛物线顶点，与轴交点 ∴设所求抛物线关系式为 ∴抛物线关系式 求位似变换后函数图象关系式一般方法：先在原函数图象上取一些特殊点，然后根据位似中心、位似比以及位似图形的性质，求出所求图象上的一些特殊点的坐标。因此解题关键是如何选择特殊点，具体选法要根据函数图象性质来确定 二．位似变换在作图中的应用 位似变换解作图题的一般方法：先作一个和求作图形的相似图形，然后选择适当的位似中心和位似比，作出图形的位似图形，使的位置或大小符合作图题的要求。因此其关键是如何选择位似中心，具体选法要看图形的性质、题意和解题思想方法来决定。 如图，已知，为内一定点。 求作：，使经过点，且与两边都相切。 分析：要使经过点，且与两边相切，暂时放弃过点这个条件，保留与两边相切，这时可作无数个圆，它们都与要作位似，以为位似中心，这些圆的圆心都在的平分线上，在上任意取一点，即可以为圆心，作与两边相切，则与是以为位似中心的位似图形。根据位似的性质，点的对应点是与的交点，那么点可以作出。 作法：⒈作的平分线； ⒉在上任取一点，作使之与两边、相切； ⒊连结，交于点； ⒋连结； ⒌过作交于； ⒍作（以为半径）。 ∴就是所求作的圆。 例4． 已知，在内，求作一正方形，使在上，、 分别在、上。 分析：假设所求作正方形，两顶点、在的边上，、分别在、上。先放弃在上的要求，而保留其他要求，则可得到以为位似中心的正方形的位似图形，并且过点。由此可得作图方法。 作法：⒈作正方形，使在上，在上； ⒉连接并延长交于； ⒊作于，作交于； ⒋作于。 ∴正方形即为所求作正方形。 1